Calcule Z e V para o hexafluoreto de enxofre à 75^{\circ} \mathrm{C} e 15 bar, com as seguintes equações:
A equação do tipo virial truncada, com valor de B obtido com a correlação generalizada de Pitzer.
OBS: Para o hexafluoreto de enxofre, T_{c}=318,7 \mathrm{~K}; P_{c}=37,6 \mathrm{bar} ; V_{c}=198 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{e} \omega=0,286.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede: calcular o fator de compressibilidade Z e o volume molar V do hexafluoreto de enxofre nas condições dadas, usando a equação viral truncada (somente até o segundo termo) com o coeficiente B obtido pela correlação generalizada de Pitzer.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do problema: 75^{\circ}\mathrm{C}. Vou converter para Kelvin: T = 75 + 273{,}15 = 348{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: P = 15\\ \mathrm{bar}.
    • Constantes críticas e fator acêntrico (fornecidos): T_c = 318{,}7\\ \mathrm{K},\qquad P_c = 37{,}6\\ \mathrm{bar},\qquad \omega = 0{,}286.
    • Constante universal dos gases (usarei a forma em L·bar·mol{-1}·K{-1}): R = 0{,}08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Fórmulas que serão usadas (lista, sem calcular ainda):
    • Equação viral truncada (em função da pressão): Z = 1 + \dfrac{B\,P}{R\,T},onde Z é adimensional, B tem unidades de volume por mol (por exemplo L·mol^{-1} ou cm{3}·mol{-1}).
    • Volume molar a partir de Z: V = \dfrac{Z\,R\,T}{P}.
    • Correlação generalizada de Pitzer para B: B(T)=\bigl[B^{0}(T_r)+\omega\,B^{1}(T_r)\bigr]\frac{R\,T_c}{P_c},em que T_r=T/T_c é a temperatura reduzida e B^{0}, B^{1} são funções adimensionais de T_r (valores dados por fórmulas empíricas da correlação de Pitzer).

Passo 2

Explico a correlação de Pitzer que vou usar e o que significam suas partes.
  • A correlação de Pitzer expressa o segundo coeficiente viral B como a soma de duas contribuições adimensionais multiplicadas por um fator de escala \dfrac{R T_c}{P_c}. Isto é conveniente porque as funções adimensionais B^{0}(T_r) e B^{1}(T_r) são praticamente universais (dependem só de T_r) e a dependência específica da substância entra através de T_c,P_c e do fator acêntrico \omega.
  • As funções empíricas padrão (forma tabulada/padrão usada em muitos livros) que vou usar são: B^{0}(T_r)=0{,}083 - \dfrac{0{,}422}{T_r} - \dfrac{0{,}119}{T_r^{2}} + \dfrac{0{,}0125}{T_r^{3}} - \dfrac{0{,}000607}{T_r^{8}},
B^{1}(T_r)=0{,}139 - \dfrac{0{,}172}{T_r} - \dfrac{0{,}012}{T_r^{2}} - \dfrac{0{,}0001}{T_r^{8}}.
  • Observação didática: cada termo é uma contribuição decrescente com potências de T_r; o termo em T_r^{-8} é normalmente muito pequeno para T_r não muito menor que 1, mas vou incluí-lo para maior precisão.

Passo 3

Calcular a temperatura reduzida T_r e as potências necessárias de T_r.
  • Temperatura reduzida: T_r=\dfrac{T}{T_c}=\dfrac{348{,}15}{318{,}7}=1{,}0924\quad(\text{aprox.}).
  • Calcular as potências inversas (vou manter 5 casas intermediárias para evitar acumular erro): \dfrac{1}{T_r}=0{,}91539,\qquad \dfrac{1}{T_r^{2}}=0{,}83800,\qquad \dfrac{1}{T_r^{3}}=0{,}76602,\qquad \dfrac{1}{T_r^{8}}=0{,}49301.

Passo 4

Calcular B^{0}(T_r) e B^{1}(T_r) usando as fórmulas escolhidas e os valores de T_r.
  • Substituindo em B^{0}(T_r): \begin{aligned} B^{0}(T_r) &= 0{,}083 - 0{,}422\cdot(0{,}91539) - 0{,}119\cdot(0{,}83800) \\\ &\quad + 0{,}0125\cdot(0{,}76602) - 0{,}000607\cdot(0{,}49301). \end{aligned}Agora os produtos: 0{,}422\cdot0{,}91539=0{,}38669,\quad 0{,}119\cdot0{,}83800=0{,}09982,
0{,}0125\cdot0{,}76602=0{,}009575,\quad 0{,}000607\cdot0{,}49301=0{,}000299.
Somando/ subtraindo:
B^{0}(T_r)=0{,}083 - 0{,}38669 - 0{,}09982 + 0{,}009575 - 0{,}000299 = -0{,}39423\\ (\text{aprox.}).
  • Substituindo em B^{1}(T_r): \begin{aligned} B^{1}(T_r) &= 0{,}139 - 0{,}172\cdot(0{,}91539) - 0{,}012\cdot(0{,}83800) - 0{,}0001\cdot(0{,}49301). \end{aligned}Calculando os produtos: 0{,}172\cdot0{,}91539=0{,}15745,\quad 0{,}012\cdot0{,}83800=0{,}01006,\quad 0{,}0001\cdot0{,}49301=0{,}0000493.Somando/subtraindo: B^{1}(T_r)=0{,}139 - 0{,}15745 - 0{,}01006 - 0{,}0000493 = -0{,}02856\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular o coeficiente B(T) físico (com unidades).
  • Primeiro o fator adimensional combinado: B^{*}=B^{0}(T_r)+\omega\,B^{1}(T_r) = -0{,}39423 + 0{,}286\cdot(-0{,}02856).
0{,}286\cdot(-0{,}02856) = -0{,}00817.
B^{*} = -0{,}39423 - 0{,}00817 = -0{,}40240\\ (\text{adimensional}).
  • Agora o fator de escala \dfrac{R T_c}{P_c} em unidades de litros por mol: \frac{R\,T_c}{P_c}=\dfrac{0{,}08314\\ \mathrm{L\!·bar\!·mol^{-1}\!·K^{-1}}\times318{,}7\\ \mathrm{K}}{37{,}6\\ \mathrm{bar}}
=\dfrac{26{,}503\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}}}{37{,}6\\ \mathrm{bar}}=0{,}7046\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
(Se quiser em \mathrm{cm^{3}/mol}, multiplica por 1000: 704{,}6\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.)
  • Finalmente: B(T)=B^{*}\frac{R\,T_c}{P_c} = (-0{,}40240)\times0{,}7046\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}} = -0{,}2837\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.Em \mathrm{cm^{3}/mol}: B(T) = -283{,}7\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Calcular Z e V pela equação viral truncada.
  • Equação para Z: Z = 1 + \dfrac{B\,P}{R\,T}.Substituindo números (uso B=-0{,}2837\\ \mathrm{L/mol}, P=15\\ \mathrm{bar}, R=0{,}08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, T=348{,}15\\ \mathrm{K}): \dfrac{B\,P}{R\,T}=\dfrac{(-0{,}2837)\times15}{0{,}08314\times348{,}15}.Calcular numerador e denominador: \text{num} = -4{,}2555,\qquad \text{den} = 28{,}955\\ (\text{aprox.})
\dfrac{B\,P}{R\,T} = -0{,}1470\\ (\text{aprox.})
Z = 1 - 0{,}1470 = 0{,}8530\\ (\text{adimensional, aproximadamente}).
  • Agora o volume molar V: V=\dfrac{Z\,R\,T}{P} = Z\cdot\left(\dfrac{R\,T}{P}\right).Primeiro o volume molar ideal R T / P: \dfrac{R\,T}{P}=\dfrac{0{,}08314\times348{,}15}{15}= \dfrac{28{,}955}{15}=1{,}9303\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.Multiplicando por Z: V = 0{,}8530\times1{,}9303 = 1{,}646\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.Em \mathrm{cm^{3}/mol}: V = 1646\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}.

Resposta

Z \approx 0{,}853
V \approx 1{,}646\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}} \;=\;1646\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}

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