Um compressor opera em regime permanente comprimindo etano \left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}\right) de:
  • Estado 1: \mathrm{T}_{1}=320 \mathrm{~K}, \mathrm{P}_{1}=5 bar
  • Estado 2: \mathrm{T}_{2}=450 \mathrm{~K}, \mathrm{P}_{2}=5 bar
Observação: A pressão é constante ( \mathrm{P}_{1}=\mathrm{P}_{2}=5 bar), portanto o processo é isobárico.
Pede-se:
  1. Calcular a variação de entalpia \Delta \mathrm{H}=\mathrm{H}_{2}-\mathrm{H}_{1} utilizando a equação de Soave-Redlich-Kwong (SRK).
  2. Determinar o calor trocado Q por mol de fluido,
    sabendo que em um processo isobárico com escoamento permanente, \mathrm{Q}=\Delta \mathrm{H}.
  3. Se o compressor for adiabático e reversível ( \mathrm{Q}=0 ), qual seria o trabalho de eixo \mathrm{W}_{\mathrm{s}} ? (Neste caso, \Delta \mathrm{H}=\mathrm{W}_{\mathrm{s}} )
Dados do etano:
  • \mathrm{Tc}=305,3 \mathrm{~K}
  • \mathrm{Pc}=48,72 \mathrm{bar}
  • \omega=0,099
    \cdot \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}=0,08314 \mathrm{~L} \cdot \mathrm{bar} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}
  • \mathrm{Cp}^{\mathrm{gi}} / \mathrm{R}=1,131+19,225 \times 10^{-3} \mathrm{~T}-5,561 \times 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
    (Smith & Van Ness)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Estado 1: \mathrm{T}_{1}=320\\ \mathrm{K}, \mathrm{P}_{1}=5\\ \mathrm{bar}.
  • Estado 2: \mathrm{T}_{2}=450\\ \mathrm{K}, \mathrm{P}_{2}=5\\ \mathrm{bar}.
  • Processo isobárico: \mathrm{P}_1=\mathrm{P}_2=5\\ \mathrm{bar}.
  • Propriedades do etano:
    • \mathrm{T_c}=305{,}3\\ \mathrm{K}
    • \mathrm{P_c}=48{,}72\\ \mathrm{bar}
    • \omega=0{,}099
  • Constantes e expressão de C_p^{\text{ig}} (Smith & Van Ness):
    • \mathrm{R}=8{,}314\\ \mathrm{J}\!/\!\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}=0{,}08314\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{bar}\!/\!\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}.
    • \dfrac{C_p^{\text{ig}}}{R}=1{,}131+19{,}225\times10^{-3}\,T-5{,}561\times10^{-6}\,T^{2}.
O enunciado pede:
  1. Calcular \Delta H=H_2-H_1 usando a equação de estado Soave–Redlich–Kwong (SRK).
  2. Determinar o calor trocado Q por mol de fluido, sabendo que para escoamento permanente isobárico Q=\Delta H.
  3. Se o compressor for adiabático e reversível ( Q=0), qual seria o trabalho de eixo W_s? (neste caso \Delta H=W_s).
Observação: para gases reais, a entalpia é a soma da entalpia ideal (função só de T) e da entalpia de desvio (departure) que depende de T e P. Vou calcular
\Delta H=\underbrace{\int_{T_1}^{T_2} C_p^{\text{ig}}(T)\,dT}_{\Delta H^{\text{ig}}}+\left[H^{\text{res}}(T_2,P)-H^{\text{res}}(T_1,P)\right].

Passo 2

Apresento a formulação SRK e as fórmulas que vou usar (explico cada termo).
Equações e definições SRK:
P=\frac{R T}{V-b}-\frac{a(T)}{V(V+b)}.
Aqui:
  • a(T) é o parâmetro de atração dependente da temperatura.
  • b é o parâmetro do volume finito das moléculas (constante para a substância).
  • R em \mathrm{L}\cdot\mathrm{bar}\!/\!\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K} será usado quando necessário para manter consistência com \mathrm{P} em bar e \mathrm{V} em L/mol.
Fórmulas práticas SRK (constantes numéricas padrão):
a_c=0{,}42747\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c},\qquad b=0{,}08664\frac{R T_c}{P_c}.
A função \alpha(T) de Soave:
\alpha(T)=\bigl[1+m(1-\sqrt{T_r})\bigr]^{2},\qquad T_r=\frac{T}{T_c},
m=0{,}48+1{,}574\,\omega-0{,}176\,\omega^{2}.
Então
a(T)=a_c\,\alpha(T).
Defino os parâmetros adimensionais (úteis para resolver o polinômio de Z):
A=\frac{aP}{R^{2}T^{2}},\qquad B=\frac{bP}{R T}.
A equação cúbica para o fator de compressibilidade Z (forma usada em SRK):
Z^{3}-Z^{2}+(A-B-B^{2})Z-AB=0.
Enthalpia de desvio para SRK (forma prática usada):
\frac{H^{\text{res}}}{R T}=Z-1+\frac{T\frac{da}{dT}-a}{R T b}\ln\!\left(\frac{Z+B}{Z}\right).
Ou, multiplicando por R T,
H^{\text{res}}=R T(Z-1)+\frac{T\frac{da}{dT}-a}{b}\ln\!\left(\frac{Z+B}{Z}\right).
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • Z é o fator de compressibilidade na dada condição (T,P).
  • a e b já definidos; \dfrac{da}{dT} é derivada de a(T)=a_c\alpha(T) em relação a T.
  • O logaritmo vem da integração termodinâmica específica da forma funcional do termo atração da SRK.
Vou calcular separadamente:
  • a(T_1),\,a(T_2),\,b.
  • A_1,B_1 e A_2,B_2; em seguida resolver a cúbica para obter Z_1,Z_2.
  • \dfrac{da}{dT} em cada temperatura.
  • H^{\text{res}}_1 e H^{\text{res}}_2.
  • \Delta H^{\text{ig}}=\int_{T_1}^{T_2} C_p^{\text{ig}}\,dT usando a expressão polinomial dada.
  • Somar para obter \Delta H.

Passo 3

Cálculo de parâmetros SRK numéricos (unidades: R=0{,}08314\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{bar}\!/\!\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).
Primeiro calcule m:
m=0{,}48+1{,}574\omega-0{,}176\omega^{2} =0{,}48+1{,}574(0{,}099)-0{,}176(0{,}099)^{2}.
Numericamente
m\approx0{,}63410.
Calcule a_c e b:
a_c=0{,}42747\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}.
Usando R=0{,}08314, T_c=305{,}3\\ \mathrm{K}, P_c=48{,}72\\ \mathrm{bar},
a_c\approx5{,}659\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar}\!/\!\mathrm{mol^{2}}.
b=0{,}08664\frac{R T_c}{P_c}\approx0{,}04514\\ \mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
Agora calcule \alpha(T) e a(T) nos dois estados.
Para T_1=320\\ \mathrm{K}:
T_{r1}=\frac{320}{305{,}3}\approx1{,}0480,\quad \sqrt{T_{r1}}\approx1{,}0238,
\alpha_1=\bigl[1+m(1-\sqrt{T_{r1}})\bigr]^{2}\approx(0{,}984914)^{2}\approx0{,}970035,
a_1=a_c\alpha_1\approx5{,}659\cdot0{,}970035\approx5{,}489\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar}\!/\!\mathrm{mol^{2}}.
Para T_2=450\\ \mathrm{K}:
T_{r2}=\frac{450}{305{,}3}\approx1{,}474,\quad \sqrt{T_{r2}}\approx1{,}213,
\alpha_2\approx(1+m(1-\sqrt{T_{r2}}))^{2}\approx0{,}7484,
a_2=a_c\alpha_2\approx5{,}659\cdot0{,}7484\approx4{,}236\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar}\!/\!\mathrm{mol^{2}}.
Calcule A e B em cada estado (lembrando P=5\\ \mathrm{bar}):
Para T_1:
A_1=\frac{a_1 P}{R^{2}T_1^{2}}\approx0{,}03882,\qquad B_1=\frac{b P}{R T_1}\approx0{,}008488.
Para T_2:
A_2=\frac{a_2 P}{R^{2}T_2^{2}}\approx0{,}01512,\qquad B_2=\frac{b P}{R T_2}\approx0{,}006034.

Passo 4

Resolver a cúbica SRK para obter Z_1 e Z_2.
Equação cúbica:
Z^{3}-Z^{2}+(A-B-B^{2})Z-AB=0.
Para o estado 1 ( A_1,B_1 inseridos), a equação numérica dá uma raiz real relevante (estado gasoso) próxima de
Z_1\approx0{,}96956.
Para o estado 2 ( A_2,B_2 inseridos), a raiz gasosa relevante é
Z_2\approx0{,}9918.
Observação rápida: os valores de Z são levemente menores que 1, sinal típico de comportamento com efeito atrativo em condições moderadas de pressão.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{da}{dT} em cada temperatura (necessário para H^{\text{res}}).
Recordando a(T)=a_c\alpha(T) com \alpha(T)=[1+m(1-\sqrt{T/T_c})]^{2}.
Seja \varphi(T)=1+m(1-\sqrt{T/T_c}). Então
\frac{d\alpha}{dT}=-2m\varphi(T)\frac{d}{dT}\bigl(\sqrt{T/T_c}\,\bigr) =-2m\varphi(T)\cdot\frac{1}{2\sqrt{T_c}\sqrt{T}} =-\frac{m\varphi(T)}{\sqrt{T_c T}}.
Logo
\frac{da}{dT}=a_c\frac{d\alpha}{dT}.
Cálculo numérico:
Para T_1=320\\ \mathrm{K}:
\phi_1\approx0{,}984914,\quad \frac{d\alpha}{dT}\Big|_{T_1}\approx-0{,}001996\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{da}{dT}\Big|_{T_1}\approx a_c\cdot(-0{,}001996)\approx-0{,}011296\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar}\!/\!\mathrm{mol^{2}\cdot K}.
Para T_2=450\\ \mathrm{K}:
\phi_2\approx0{,}8651,\quad \frac{d\alpha}{dT}\Big|_{T_2}\approx-0{,}001480\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{da}{dT}\Big|_{T_2}\approx-0{,}008374\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar}\!/\!\mathrm{mol^{2}\cdot K}.

Passo 6

Cálculo de H^{\text{res}} em cada estado usando a fórmula:
H^{\text{res}}=R T(Z-1)+\frac{T\frac{da}{dT}-a}{b}\ln\!\left(\frac{Z+B}{Z}\right).
Cálculos numéricos (unidade intermediária: \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}; ao final converto para J/mol usando 1\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}=100\\ \mathrm{J}).
Para o estado 1:
  • R T_1=0{,}08314\cdot320\approx26{,}605\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
  • Z_1-1\approx-0{,}030443 \Rightarrow R T_1(Z_1-1)\approx-0{,}8100\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
  • T_1\frac{da}{dT}-a_1=320\cdot(-0{,}011296)-5{,}489\approx-9{,}1037\\ \mathrm{L^{2}\cdot bar}\!/\!\mathrm{mol^{2}}.
  • \dfrac{T_1\frac{da}{dT}-a_1}{b}\approx\frac{-9{,}1037}{0{,}04514}\approx-201{,}77\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
  • \ln\!\left(\dfrac{Z_1+B_1}{Z_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0{,}96956+0{,}008488}{0{,}96956}\right)\approx0{,}008695.
  • Produto da segunda parcela \approx-1{,}754\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
Somando:
H^{\text{res}}_1\approx-0{,}8100-1{,}754=-2{,}564\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol} \approx-256{,}4\\ \mathrm{J}\!/\!\mathrm{mol}.
Para o estado 2:
  • R T_2=0{,}08314\cdot450\approx37{,}413\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
  • Z_2-1\approx-0{,}0082 \Rightarrow R T_2(Z_2-1)\approx-0{,}3068\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
  • T_2\frac{da}{dT}-a_2=450\cdot(-0{,}008374)-4{,}236\approx-8{,}0043.
  • \dfrac{T_2\frac{da}{dT}-a_2}{b}\approx\frac{-8{,}0043}{0{,}04514}\approx-177{,}36\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
  • \ln\!\left(\dfrac{Z_2+B_2}{Z_2}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0{,}9918+0{,}006034}{0{,}9918}\right)\approx0{,}006040.
  • Segunda parcela \approx-1{,}0717\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol}.
Somando:
H^{\text{res}}_2\approx-0{,}3068-1{,}0717=-1{,}3785\\ \mathrm{bar}\cdot\mathrm{L}\!/\!\mathrm{mol} \approx-137{,}85\\ \mathrm{J}\!/\!\mathrm{mol}.
Portanto a variação de entalpia de desvio é
\Delta H^{\text{res}}=H^{\text{res}}_2-H^{\text{res}}_1\approx(-137{,}85)-(-256{,}4)=118{,}55\\ \mathrm{J}\!/\!\mathrm{mol}.

Passo 7

Cálculo da variação de entalpia ideal \Delta H^{\text{ig}}=\int_{T_1}^{T_2} C_p^{\text{ig}}(T)\,dT.
Temos \dfrac{C_p^{\text{ig}}}{R}=a+bT+cT^{2} com a=1{,}131,\\ b=19{,}225\times10^{-3},\\ c=-5{,}561\times10^{-6}.
A integral:
\Delta H^{\text{ig}}=R\left[a(T_2-T_1)+\frac{b}{2}(T_2^{2}-T_1^{2})+\frac{c}{3}(T_2^{3}-T_1^{3})\right].
Cálculo numérico:
\int_{320}^{450}\frac{C_p^{\text{ig}}}{R}dT\approx1001{,}49,
\Delta H^{\text{ig}}=8{,}314\cdot1001{,}49\approx8331{,}4\\ \mathrm{J}\!/\!\mathrm{mol}.

Passo 8

Somando as contribuições para obter \Delta H:
\Delta H=\Delta H^{\text{ig}}+\Delta H^{\text{res}} \approx8331{,}4\\ \text{J/mol}+118{,}6\\ \text{J/mol}\approx8449{,}95\\ \text{J/mol}.
Arredondando razoavelmente:
\Delta H\approx8{,}45\\ \mathrm{kJ}\!/\!\mathrm{mol}.

Passo 9

Responder às perguntas pedidas:
  1. A variação de entalpia por mol obtida com SRK é \Delta H\approx8{,}45\\ \mathrm{kJ}\!/\!\mathrm{mol}.
  2. O calor trocado por mol no processo isobárico em regime permanente é Q=\Delta H\approx8{,}45\\ \mathrm{kJ}\!/\!\mathrm{mol}.
  3. Se o compressor for adiabático e reversível ( Q=0), então o trabalho de eixo por mol será W_s=\Delta H\approx8{,}45\\ \mathrm{kJ}\!/\!\mathrm{mol}.
Observação final e incentivo: a maior parte do aumento de entalpia é devido ao aquecimento ideal (Cp), e a correção real (entalpia de desvio) foi relativamente pequena (cerca de 0{,}12\\ \mathrm{kJ/mol}). Dá pra usar esse procedimento em qualquer gás: calcular a,b,\alpha, resolver Z, calcular H^{\text{res}} e integrar C_p^{\text{ig}}. Vai dar certo na prova — respira e manda ver!

Resposta

\Delta H\approx8{,}45\\ \mathrm{kJ}\!/\!\mathrm{mol}
Q=\Delta H\approx8{,}45\\ \mathrm{kJ}\!/\!\mathrm{mol}
W_{s}=\Delta H\approx8{,}45\\ \mathrm{kJ}\!/\!\mathrm{mol}

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