Calcule o livre percurso médio das moléculas no ar usando: \sigma=0,43 \mathrm{~nm}^{2}, a 25^{\circ} \mathrm{C}, e 1,0 \mu \mathrm{~atm}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do livre percurso médio \lambda das moléculas no ar a 25^\circ\mathrm{C} e pressão de 1{,}0\,\mu\mathrm{atm}, sabendo que a seção de choque efetiva é \sigma=0,43\,\mathrm{nm}^2. O conteúdo envolvido é a teoria cinética dos gases e a fórmula que relaciona \lambda com temperatura, pressão e seção de choque.

Passo 2

Primeiro, convertemos tudo para o SI:
A temperatura é
T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\;\mathrm{K}.
A pressão é
P = 1{,}0\,\mu\mathrm{atm} = 1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{atm} = 1{,}0\times10^{-6}\times1{,}01325\times10^{5}\;\mathrm{Pa} =1{,}01325\times10^{-1}\;\mathrm{Pa}.
A seção de choque em metros quadrados é
\sigma = 0,43\,\mathrm{nm}^2 = 0,43\times10^{-18}\;\mathrm{m}^2 =4{,}3\times10^{-19}\;\mathrm{m}^2.

Passo 3

A teoria cinética dá a seguinte expressão para o livre percurso médio em um gás ideal de moléculas esféricas:
\lambda = \frac{k_B\,T}{\sqrt{2}\,\sigma\,P},
onde k_B=1{,}38\times10^{-23}\;\mathrm{J/K} é a constante de Boltzmann.

Passo 4

Substituímos os valores na fórmula:
\lambda = \frac{1{,}38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}\;\times\;298{,}15\,\mathrm{K}} {\sqrt{2}\;\times\;4{,}3\times10^{-19}\,\mathrm{m}^2\;\times\;1{,}01325\times10^{-1}\,\mathrm{Pa}}.

Passo 5

Calculando numerador e denominador separadamente:
O numerador é
1{,}38\times10^{-23}\times298{,}15 \approx 4{,}11\times10^{-21}\;\mathrm{J}.
O denominador é
\sqrt{2}\times4{,}3\times10^{-19}\times1{,}01325\times10^{-1} \approx6{,}16\times10^{-20}\;\mathrm{Pa\cdot m^2}.
Dividindo, obtemos
\lambda \approx \frac{4{,}11\times10^{-21}}{6{,}16\times10^{-20}} \approx0,0668\;\mathrm{m}.

Passo 6

Portanto, o livre percurso médio das moléculas de ar nas condições dadas fica em torno de algumas dezenas de milímetros, ou seja, algumas dezenas de centímetros.

Resposta

\lambda \approx 6,7\times10^{-2}\,\mathrm{m} (aproximadamente 6{,}7\;\mathrm{cm}).

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