Encontre as três equações de estado para o sistema dado pela equação fundamental:
u=\left(\frac{\theta}{R}\right) s^{2}-\left(\frac{R \theta}{v_{0}^{2}}\right) v^{2}
E mostre que, para esse sistema, \mu=-u.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia interna molar u como função das variáveis intensivas entropia molar s e volume molar v:
u(s,v)=\frac{\theta}{R}\,s^{2}\;-\;\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v^{2}.
O objetivo é obter as três equações de estado
T(s,v),\quad p(s,v),\quad \mu(s,v),
sabendo que, para um sistema descrito por u(s,v), vale
T=\Bigl(\frac{\partial u}{\partial s}\Bigr)_{v}, \quad p=-\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{s},
e que a relação de Euler para funções homogêneas de grau 1 em (S,V,N) leva, a nível molar, à identidade
u = T\,s \;-\;p\,v \;+\;\mu.

Passo 2

Calculamos a temperatura molar usando a derivada parcial de u em relação a s, mantendo v fixo:
T = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial s}\Bigr)_{v} = \frac{\partial}{\partial s}\Bigl(\frac{\theta}{R}\,s^{2}\Bigr) = 2\,\frac{\theta}{R}\,s.

Passo 3

Calculamos a pressão molar a partir de -\bigl(\partial u/\partial v\bigr)_{s}:
\frac{\partial u}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}\Bigl(-\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v^{2}\Bigr) = -2\,\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v,
logo
p = -\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{s} = 2\,\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v.

Passo 4

Para obter \mu, usamos a identidade de Euler em nível molar:
u = T\,s - p\,v + \mu \quad\Longrightarrow\quad \mu = u - T\,s + p\,v.
Substituindo u, T e p:
\mu = \Bigl(\frac{\theta}{R}\,s^{2}-\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v^{2}\Bigr) - \Bigl(2\,\frac{\theta}{R}\,s\Bigr)s + \Bigl(2\,\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v\Bigr)v.
Agrupando termos:
\mu = \frac{\theta}{R}\,s^{2}-\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v^{2} -2\,\frac{\theta}{R}\,s^{2} +2\,\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v^{2} = -\Bigl(\frac{\theta}{R}\,s^{2}-\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v^{2}\Bigr) = -\,u.

Resposta

T(s,v) = 2\,\frac{\theta}{R}\,s
p(s,v) = 2\,\frac{R\,\theta}{v_{0}^{2}}\,v \displaystyle \mu(s,v)=-\,u(s,v)

Exercícios relacionados