Calcule
em termos das quantidades padrões
, e P .
Resposta:
Passo 1
O problema pede que eu calcule
e exprima o resultado em função das quantidades padrão
e
.
Informações/dados relevantes fornecidos ou implícitos que vou usar:
Informações/dados relevantes fornecidos ou implícitos que vou usar:
-
é a entalpia do sistema. - A derivada é tomada a temperatura
e número de partículas constantes. - As grandezas termodinâmicas padrões: capacidade térmica a pressão constante
, coeficiente de dilatação térmica , compressibilidade isotérmica , temperatura e pressão .
(Observação: se alguma relação envolvendo figura/tabela fosse necessária, eu diria explicitamente; aqui o enunciado é suficiente.)
Passo 2
Vou começar lembrando a definição e o diferencial da entalpia. A entalpia é definida por
onde
é a energia interna,
a pressão e
o volume. A partir da identidade termodinâmica para
,
posso obter
somando
:
Aqui
é a temperatura,
a entropia e
o potencial químico. Como a derivada pedida é para
fixo, posso desprezar
(ou seja, manter
constante).
Passo 3
Para ligar a derivada com respeito a
à forma conveniente, uso a regra da cadeia tratando
como função das variáveis
e
(ou seja,
). A variação de
com
a
constante vem do fato de que alterar
a
constante implica alterar
. Assim:
Essa é apenas a aplicação da regra da cadeia: variação em
(mantendo
) transmitida por meio da variação de
.
Passo 4
Agora calculo
usando
. Mantendo
constante e derivando em relação a
,
Para eliminar
uso uma relação de Maxwell. A partir da energia de Gibbs
temos
, portanto
Substituindo na expressão de
,
Passo 5
Agora uso a definição do coeficiente de dilatação térmica
, que é
Isto implica
. Substituo em
:
Passo 6
Preciso agora de
. Uso a definição da compressibilidade isotérmica
,
Reescrevendo,
. Invertendo essa relação (assumindo função invertível localmente),
Passo 7
Junto as duas peças com a regra da cadeia do Passo 3:
As
se cancelam, ficando
Observação: a capacidade
apareceu nas variáveis fornecidas, mas não foi necessária para este resultado.