Calcule (\partial \mathrm{H} / \partial \mathrm{V})_{\mathrm{T}, \mathrm{N}} em termos das quantidades padrões \mathrm{c}_{\mathrm{P}}, \alpha, \mathrm{K}_{\mathrm{T}}, \mathrm{T}, e P .
Resposta:
\left(\frac{\partial \mathrm{H}}{\partial \mathrm{~V}}\right)_{\mathrm{T}, \mathrm{~N}}=(\mathrm{T} \alpha-1) / \mathrm{K}_{\mathrm{T}}

Passo 1

O problema pede que eu calcule \left(\dfrac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N} e exprima o resultado em função das quantidades padrão \,c_{P}\,,\\ \alpha\,,\\ K_{T}\,,\\ T e P.
Informações/dados relevantes fornecidos ou implícitos que vou usar:
  • H é a entalpia do sistema.
  • A derivada é tomada a temperatura T e número de partículas N constantes.
  • As grandezas termodinâmicas padrões: capacidade térmica a pressão constante c_{P}, coeficiente de dilatação térmica \alpha, compressibilidade isotérmica K_{T}, temperatura T e pressão P.
    (Observação: se alguma relação envolvendo figura/tabela fosse necessária, eu diria explicitamente; aqui o enunciado é suficiente.)

Passo 2

Vou começar lembrando a definição e o diferencial da entalpia. A entalpia é definida por
H = U + P\,V,
onde U é a energia interna, P a pressão e V o volume. A partir da identidade termodinâmica para dU,
dU = T\,dS - P\,dV + \mu\,dN,
posso obter dH somando P\,dV+V\,dP:
dH = dU + P\,dV + V\,dP = T\,dS + V\,dP + \mu\,dN.
Aqui T é a temperatura, S a entropia e \mu o potencial químico. Como a derivada pedida é para N fixo, posso desprezar dN (ou seja, manter N constante).

Passo 3

Para ligar a derivada com respeito a V à forma conveniente, uso a regra da cadeia tratando H como função das variáveis T e P (ou seja, H=H(T,P)). A variação de H com V a T constante vem do fato de que alterar V a T constante implica alterar P. Assim:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T,N} = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T,N}\, \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T,N}.
Essa é apenas a aplicação da regra da cadeia: variação em V (mantendo T) transmitida por meio da variação de P.

Passo 4

Agora calculo \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T,N} usando dH = T\,dS + V\,dP. Mantendo T constante e derivando em relação a P,
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} + V.
Para eliminar \left(\dfrac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} uso uma relação de Maxwell. A partir da energia de Gibbs G=H-TS temos dG=-S\,dT+V\,dP, portanto
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Substituindo na expressão de \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T},
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} = V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.

Passo 5

Agora uso a definição do coeficiente de dilatação térmica \alpha, que é
\alpha \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Isto implica \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = V\,\alpha. Substituo em \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T}:
\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T} = V - T\,V\,\alpha = V\,(1 - T\alpha).

Passo 6

Preciso agora de \left(\dfrac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}. Uso a definição da compressibilidade isotérmica K_{T},
K_{T} \equiv -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}.
Reescrevendo, \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_{T} = -V\,K_{T}. Invertendo essa relação (assumindo função invertível localmente),
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} = -\frac{1}{V\,K_{T}}.

Passo 7

Junto as duas peças com a regra da cadeia do Passo 3:
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T} = \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{T}\, \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T} = V(1 - T\alpha)\left(-\frac{1}{V K_{T}}\right).
As V se cancelam, ficando
\left(\frac{\partial H}{\partial V}\right)_{T} = -\frac{1 - T\alpha}{K_{T}} = \frac{T\alpha - 1}{K_{T}}.
Observação: a capacidade c_{P} apareceu nas variáveis fornecidas, mas não foi necessária para este resultado.

Resposta

\dfrac{T\alpha-1}{K_{T}}

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