Mostre que
Calcule esta quantidade para um sistema obedecendo a equação de estado
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) demonstrar a fórmula
e (ii) calcular essa quantidade para um sistema cuja equação de estado é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não vou resolver nada aqui ainda, só coloquei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Vamos começar lembrando uma definição útil de termodinâmica que vamos usar: a capacidade molar à pressão constante pode ser escrita como
onde
é a entropia molar. Explico por que: por definição
. Em processos reversíveis
, logo
que simplifica para a forma acima; ou, de maneira direta e usual, admite-se a relação
. Essa é uma identidade padrão e vamos usá-la.
Também vamos usar a relação de Maxwell que vem da energia livre de Gibbs
, cuja diferencial é
logo
Aqui
é o volume total; trabalhando com quantidades molares usamos
no lugar de
.
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
à temperatura fixa. Como
é mantido fixo no derivar, obtemos
Permutamos derivadas mistas (as segundas derivadas cruzadas de funções bem comportadas podem ser trocadas):
Usando a relação de Maxwell
(agora com
molar), obtemos
Esta é uma forma útil e simples: a derivada buscada é menos
vezes a derivada segunda do volume molar em relação a
à pressão constante.
Passo 4
Agora vamos escrever
em termos de
. Pela definição de
temos
Derivamos essa igualdade em relação a
à pressão constante (explicando passo a passo):
Agora usamos a regra do produto: a derivada de
em relação a
(com
fixo) é
Mas
, então substituindo:
Passo 5
Substituímos a expressão do Passo 4 na relação do Passo 3. Assim
Organizando os termos obtemos exatamente a fórmula pedida:
Pronto — demonstramos a identidade passo a passo usando
, a relação de Maxwell e a definição de
.
Passo 6
Agora aplicamos isso ao gás com equação de estado dada:
Isolamos
como função de
e
. É simples:
Passo 7
Calculemos as derivadas necessárias diretamente (usar
é mais rápido). Primeiro a derivada primeira de
em relação a
a
fixo:
Agora a derivada segunda:
Então, usando a relação do Passo 3,
Passo 8
(Verificação alternativa curta: se quiser confirmar usando a forma com
, basta calcular
, depois
e formar
; esse procedimento dá o mesmo resultado
, como esperado.) Força aí — deu pra ver o caminho inteiro sem pular passos!