Um sistema é composto de 1 mol de uma substância particular. No plano
dois estados
estão sobre os locais
constante, de modo que
. As seguintes propriedades do sistema foi medido ao longo destes locais:
,
, e
, onde
, e E são constantes. Calcule a temperatura
em termos de
as constantes
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a temperatura
em termos de
e as constantes
. As informações dadas são:
ou seja
onde
são constantes. Não é pedido que eu escolha um processo específico entre A e B — apenas relacionar as temperaturas de estado com as informações dadas.
Passo 2
Vou reunir identidades termodinâmicas que serão usadas (cada fórmula será explicada de maneira simples).
- Expressão diferencial da entropia em variáveis
:
Explicação: esta fórmula vem da relação geral
, usando
e
. Aqui
é o volume molar (1 mol),
o coeficiente de expansão térmica,
o calor molar a pressão constante.
- Expressão diferencial da entropia em variáveis
:
Explicação: esta vem de escrever
com
e pela relação de Maxwell
.
- Identidade que liga
e :
Explicação: é uma identidade termodinâmica padrão (Mayer-type) aplicável por mole, que expressa a diferença dos calores em função de
e compressibilidade isoterma
.
- Identidade útil para
:
Explicação: deriva de considerar
e impondo
(variando
e
com
fixo).
Todas estas relações são válidas para 1 mol e usamos as grandezas dadas
quando necessário.
Passo 3
Vou obter a relação diferencial
ao longo do locus
. Diferenciando ambos os lados:
Explicação: isso diz como a pressão varia com
ao mover-se ao longo do local geométrico
const.
Passo 4
Agora escrevo duas expressões para
e as igualo para eliminar
. Usando a expressão em
e a expressão em
(substituindo
acima), tenho:
Substituo
no lado direito:
Simplifico o sinal no último termo:
Reagrupo os termos com
e
:
Multiplico ambos os lados por
:
Passo 5
Uso a identidade
para substituir
. Assim
Divido por
(assumindo
):
Ou
Agora substituo as formas dadas de
e
e a expressão para
. Temos:
Calculo o prefator:
O colchete fica:
Logo
Simplifico fatorizando
:
Distribuindo:
Lembre que ao longo do locus
, então
. Substituo
:
Portanto
Observação: a constante
(presente em
) cancelou no processo; por isso
não aparece na expressão final.
Passo 6
Integro a expressão de
até
:
Calculo as integrais:
Então
Finalmente substituo
(poderia usar
igualmente):