Um sistema é composto de 1 mol de uma substância particular. No plano \mathrm{P}-v dois estados (\mathrm{A} \in \mathrm{B}) estão sobre os locais \mathrm{P} \nu^{2}= constante, de modo que \mathrm{P}_{\mathrm{A}} \nu_{\mathrm{A}}^{2}=\mathrm{P}_{\mathrm{B}} \nu_{\mathrm{B}}^{2}. As seguintes propriedades do sistema foi medido ao longo destes locais: \mathrm{c}_{\mathrm{P}}=\mathrm{C} v^{2}, \alpha=\mathrm{D} / v, e \mathrm{K}_{\mathrm{T}}=\mathrm{E} \nu, onde \mathrm{C}, \mathrm{D}, e E são constantes. Calcule a temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{B}} em termos de \mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{P}_{\mathrm{A}}, v_{\mathrm{A}}, v_{\mathrm{B}}, \mathrm{e} as constantes \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{e} \mathrm{E}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{B}} em termos de \mathrm{T}_{\mathrm{A}},\; \mathrm{P}_{\mathrm{A}},\; v_{\mathrm{A}},\; v_{\mathrm{B}} e as constantes \mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{E}. As informações dadas são:
\mathrm{(i)}\quad \text{Há 1 mol do sistema.}á
\mathrm{(ii)}\quad P\,v^{2}=\text{constoante ao longo do locus que contém A e B,}é
ou seja
\mathrm{P}_{A}\,v_{A}^{2}=\mathrm{P}_{B}\,v_{B}^{2}=k\quad\text{(vou usar }k\text{ para essa constante).}
\mathrm{(iii)}\quad c_{P}=C\,v^{2},
\mathrm{(iv)}\quad \alpha=\dfrac{D}{v},
\mathrm{(v)}\quad K_{T}=E\,v,
onde C,D,E são constantes. Não é pedido que eu escolha um processo específico entre A e B — apenas relacionar as temperaturas de estado com as informações dadas.

Passo 2

Vou reunir identidades termodinâmicas que serão usadas (cada fórmula será explicada de maneira simples).
  1. Expressão diferencial da entropia em variáveis (T,P):
dS=\dfrac{c_{P}}{T}\,dT - v\,\alpha\,dP.
Explicação: esta fórmula vem da relação geral dS=(\partial S/\partial T)_P dT+(\partial S/\partial P)_T dP, usando (\partial S/\partial T)_P = c_P/T e (\partial S/\partial P)_T = -(\partial V/\partial T)_P = -v\alpha. Aqui v é o volume molar (1 mol), \alpha o coeficiente de expansão térmica, c_P o calor molar a pressão constante.
  1. Expressão diferencial da entropia em variáveis (T,v):
dS=\dfrac{c_{v}}{T}\,dT + \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} dv.
Explicação: esta vem de escrever dS=(\partial S/\partial T)_v dT + (\partial S/\partial v)_T dv com (\partial S/\partial T)_v=c_v/T e pela relação de Maxwell (\partial S/\partial v)_T=(\partial P/\partial T)_v.
  1. Identidade que liga c_{P} e c_{v}:
c_{P}-c_{v} = \dfrac{T\,v\,\alpha^{2}}{K_{T}}.
Explicação: é uma identidade termodinâmica padrão (Mayer-type) aplicável por mole, que expressa a diferença dos calores em função de \alpha e compressibilidade isoterma K_T.
  1. Identidade útil para (\partial P/\partial T)_{v}:
\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} = \dfrac{\alpha}{K_{T}}.
Explicação: deriva de considerar dv= (\partial v/\partial T)_P dT + (\partial v/\partial P)_T dP e impondo dv=0 (variando T e P com v fixo).
Todas estas relações são válidas para 1 mol e usamos as grandezas dadas \alpha, K_T, c_P quando necessário.

Passo 3

Vou obter a relação diferencial dP/dv ao longo do locus P v^{2}=k. Diferenciando ambos os lados:
v^{2}\,dP + 2Pv\,dv = 0 \quad\Rightarrow\quad dP = -\dfrac{2P}{v}\,dv.
Explicação: isso diz como a pressão varia com v ao mover-se ao longo do local geométrico P v^{2}= const.

Passo 4

Agora escrevo duas expressões para dS e as igualo para eliminar dS. Usando a expressão em (T,v) e a expressão em (T,P) (substituindo dP acima), tenho:
\dfrac{c_{v}}{T}\,dT + \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} dv = \dfrac{c_{P}}{T}\,dT - v\,\alpha\,dP.
Substituo dP = -\dfrac{2P}{v}\,dv no lado direito:
\dfrac{c_{v}}{T}\,dT + \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} dv = \dfrac{c_{P}}{T}\,dT - v\,\alpha\left(-\dfrac{2P}{v}\,dv\right).
Simplifico o sinal no último termo:
\dfrac{c_{v}}{T}\,dT + \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} dv = \dfrac{c_{P}}{T}\,dT + 2\alpha P\, dv.
Reagrupo os termos com dT e dv:
\left(\dfrac{c_{v}-c_{P}}{T}\right) dT = \left(2\alpha P - \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}\right) dv.
Multiplico ambos os lados por T:
(c_{v}-c_{P})\,dT = T\left(2\alpha P - \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}\right) dv.

Passo 5

Uso a identidade c_{P}-c_{v} = \dfrac{T v \alpha^{2}}{K_{T}} para substituir c_{v}-c_{P} = -\dfrac{T v \alpha^{2}}{K_{T}}. Assim
-\dfrac{T v \alpha^{2}}{K_{T}}\,dT = T\left(2\alpha P - \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}\right) dv.
Divido por -T (assumindo T>0):
\dfrac{v \alpha^{2}}{K_{T}}\,dT = -\left(2\alpha P - \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}\right) dv.
Ou
dT = \dfrac{K_{T}}{v\alpha^{2}}\left[-2\alpha P + \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}\right] dv.
Agora substituo as formas dadas de \alpha e K_{T} e a expressão para (\partial P/\partial T)_{v}. Temos:
\alpha=\dfrac{D}{v},\qquad K_{T}=E v,\qquad \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}=\dfrac{\alpha}{K_{T}}=\dfrac{D/v}{E v}=\dfrac{D}{E v^{2}}.
Calculo o prefator:
\dfrac{K_{T}}{v\alpha^{2}}=\dfrac{E v}{v\,(D^{2}/v^{2})}=\dfrac{E v^{2}}{D^{2}}.
O colchete fica:
-2\alpha P + \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{v} = -2\cdot\dfrac{D}{v}\cdot P + \dfrac{D}{E v^{2}}.
Logo
dT = \dfrac{E v^{2}}{D^{2}}\left(-2\dfrac{D}{v}P + \dfrac{D}{E v^{2}}\right) dv.
Simplifico fatorizando D:
dT = \dfrac{E v^{2}}{D^{2}}\cdot D\left(-2\dfrac{P}{v} + \dfrac{1}{E v^{2}}\right) dv = \dfrac{E v^{2}}{D}\left(-2\dfrac{P}{v} + \dfrac{1}{E v^{2}}\right) dv.
Distribuindo:
dT = \dfrac{1}{D}\,dv - \dfrac{2 E P}{D\,v}\,dv.
Lembre que ao longo do locus P v^{2}=k, então P = k / v^{2}. Substituo P:
dT = \dfrac{1}{D}\,dv - \dfrac{2 E}{D}\cdot\dfrac{k}{v^{3}}\,v\,dv = \dfrac{1}{D}\,dv - \dfrac{2 E k}{D\,v}\,dv.
Portanto
dT = \dfrac{1}{D}\left(1 - \dfrac{2 E k}{v}\right) dv.
Observação: a constante C (presente em c_P) cancelou no processo; por isso C não aparece na expressão final.

Passo 6

Integro a expressão de v_{A} até v_{B}:
T_{B}-T_{A} = \int_{v_{A}}^{v_{B}} dT = \dfrac{1}{D}\int_{v_{A}}^{v_{B}}\left(1 - \dfrac{2 E k}{v}\right) dv.
Calculo as integrais:
\int_{v_{A}}^{v_{B}} 1\,dv = v_{B}-v_{A},\qquad \int_{v_{A}}^{v_{B}} \dfrac{1}{v}\,dv = \ln\!\dfrac{v_{B}}{v_{A}}.
Então
T_{B} = T_{A} + \dfrac{v_{B}-v_{A}}{D} - \dfrac{2 E k}{D}\ln\!\dfrac{v_{B}}{v_{A}}.
Finalmente substituo k = P_{A}\,v_{A}^{2} (poderia usar P_{B}v_{B}^{2} igualmente):
T_{B} = T_{A} + \dfrac{v_{B}-v_{A}}{D} - \dfrac{2 E P_{A} v_{A}^{2}}{D}\ln\!\dfrac{v_{B}}{v_{A}}.

Resposta

T_{B}=T_{A}+\dfrac{v_{B}-v_{A}}{D}-\dfrac{2E\,P_{A}\,v_{A}^{2}}{D}\ln\!\dfrac{v_{B}}{v_{A}}

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