Uma amostra de ar úmido, aprisionada em um conjunto cilindro pistão, possui 1 kg e está inicialmente a 21^{\circ} \mathrm{C}, 1 bar e 70 \% de umidade relativa, sendo então resfriada até 5^{\circ} \mathrm{C}, mantendo a pressão constante durante este processo. Determine
temperatura de ponto de orvalho
R.: 15,3^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de ar úmido dentro de um conjunto pistão-cilindro com as seguintes informações iniciais:
T_1 = 21^\circ\mathrm{C},\quad p = 1\\ \text{bar},\quad \varphi_1 = 70\% = 0{,}70,\quad m_{\text{ar úmido}} = 1\\ \text{kg}.ú
Pede-se a temperatura de ponto de orvalho (dew point) — ou seja, a temperatura T_{d} em que o vapor de água presente na amostra fica saturado (umidade relativa igual a 100\%), mantendo-se a pressão constante.
Informação importante: o enunciado dá a resposta esperada 15{,}3^\circ\mathrm{C} para conferência.

Passo 2

Conceito e estratégia (aula rápida e direta): o ponto de orvalho é a temperatura na qual a pressão parcial do vapor d’água atual e se iguala à pressão de saturação do vapor d’água àquela temperatura e_{s}(T_d). Logo, para encontrar T_d precisamos:
  1. Calcular a pressão de saturação do vapor à temperatura inicial e_{s}(T_1).
  2. Obter a pressão parcial atual do vapor e=\varphi_1\cdot e_{s}(T_1).
  3. Encontrar T_d tal que e_{s}(T_d)=e.
Fórmula prática (Magnus–Tetens), apropriada para temperaturas entre cerca de -40^\circ\mathrm{C} e 50^\circ\mathrm{C}:
e_{s}(T)=0,61078\exp\!\left(\frac{17,27\,T}{T+237,3}\right)\quad\text{(em kPa, com \(T\) em }^\circ\mathrm{C}\text{)}.
Explicando a fórmula: e_{s}(T) é a pressão de vapor saturante em kPa; os números 0,61078, 17{,}27 e 237{,}3 são parâmetros empíricos que ajustam bem a curva de saturação no intervalo citado. Usaremos essa expressão por ser simples e suficientemente precisa para a prova.

Passo 3

Calcular a pressão de saturação em T_1=21^\circ\mathrm{C}. Aplicando a fórmula:
e_{s}(21)=0,61078\exp\!\left(\frac{17,27\cdot 21}{21+237,3}\right).
Calcule o expoente passo a passo:
\frac{17,27\cdot 21}{21+237,3}=\frac{362,67}{258,3}\approx 1{,}4039.
Agora a exponencial:
\exp(1{,}4039)\approx 4{,}07.
Multiplicando:
e_{s}(21)\approx 0{,}61078\times 4{,}07\approx 2{,}49\\ \text{kPa}.

Passo 4

Calcular a pressão parcial atual do vapor e, usando a umidade relativa \varphi_1=0{,}70:
e=\varphi_1\cdot e_{s}(21)=0{,}70\times 2{,}49\\ \text{kPa}\approx 1{,}74\\ \text{kPa}.
Interpretação: esse é o vapor parcial presente no ar; ao resfriar à pressão constante, o ponto de orvalho é a temperatura em que a pressão de saturação atinge esse valor 1{,}74\\ \text{kPa}.

Passo 5

Inversão da fórmula de Magnus para obter T_d. Começamos de
e_{s}(T_d)=0,61078\exp\!\left(\frac{17,27\,T_d}{T_d+237,3}\right)=e.
Tomando ln dos dois lados e isolando T_d: defina
L=\ln\!\left(\frac{e}{0,61078}\right).
Então
\frac{17,27\,T_d}{T_d+237,3}=L.
Multiplicando e rearranjando:
17{,}27\,T_d = L(T_d+237{,}3)=L\,T_d + 237{,}3\,L,
T_d(17{,}27 - L)=237{,}3\,L,
portanto
T_d=\frac{237{,}3\,L}{17{,}27 - L}.
Esta expressão permite calcular T_d diretamente a partir de e.

Passo 6

Aplicar a fórmula com e\approx 1{,}74\\ \text{kPa}. Primeiro calcule L:
L=\ln\!\left(\frac{1{,}74}{0{,}61078}\right)=\ln(2{,}85)\approx 1{,}049.
Agora compute T_d:
T_d=\frac{237{,}3\times 1{,}049}{17{,}27 - 1{,}049} =\frac{249{,}0}{16{,}221}\approx 15{,}35^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma coerente com o enunciado, obtemos T_d\approx 15{,}3^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: repare que a massa de ar úmido ( 1\\ \text{kg}) e a pressão total ( 1\\ \text{bar}) não entram explicitamente no cálculo do ponto de orvalho além da condição de pressão constante — o ponto de orvalho depende apenas da pressão parcial do vapor e, que foi obtida a partir da umidade relativa e da pressão de saturação à temperatura inicial.

Resposta

15,3^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados