Calcule a pressão da água na temperatura de 500^{\circ} \mathrm{C} e densidade de 24 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} utilizando:
(a) Equação dos gases ideais.
(b) Equação de van der Waals.
(c) Fator de compressibilidade sabendo que para as condições dadas \mathrm{Z}= 0,925
(d) Existem outras formas de se obter a pressão de vapor da água. Por exemplo, utilizando uma tabela de vapor o valor encontrado foi de 8.054 kPa e pela equação de estado de Redlich-Kwong o valor determinado foi de 7.930 kPa. Quais destes quatro valores, ou seja, os determinados por você nas letras “a” e “b” e os valores fornecidos acima, possui maior precisão?
Dados para a água: \mathrm{M}_{\text {água }}=18,0153 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \mathrm{Tc}=647,3 \mathrm{~K} ; \mathrm{Pc}=220,6á bar.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a pressão da água nas condições: temperatura \,500^{\circ}\mathrm{C} e densidade \,24\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, usando três abordagens (a) equação dos gases ideais, (b) equação de van der Waals e (c) fator de compressibilidade com \,Z=0{,}925. Além disso, me pede comparar esses resultados com dois valores fornecidos: tabela de vapor \,8{,}054\\ \mathrm{kPa} e equação de Redlich–Kwong \,7{,}930\\ \mathrm{kPa}, e dizer qual dos quatro (ideal, vdW, tabela, RK) é mais preciso.
Dados fornecidos e constantes que vou usar (todos mencionados no enunciado):
\text{massa molar: }\; M=18{,}0153\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0180153\\ \mathrm{kg/mol}
\text{temperatura: }\; 500^{\circ}\mathrm{C}=500+273{,}15=773{,}15\\ \mathrm{K}
\text{densidade: }\; \rho=24\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
\text{constante universal dos gases: }\; R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}
\text{constantes críticas (água): }\; T_c=647{,}3\\ \mathrm{K},\quad P_c=220{,}6\\ \text{bar}=22{,}06\times10^6\\ \mathrm{Pa}.íá
O que devo entregar em números: as pressões obtidas em (a), (b), (c) (em kPa) e, em (d), indicar qual valor entre os quatro tem maior precisão.

Passo 2

(a) Equação dos gases ideais — revisão e cálculo passo a passo.
Conceito rápido: a equação dos gases ideais diz que para uma quantidade de substância em molaridade \,n/V e temperatura \,T,
p=\frac{n}{V}RT.
Aqui a densidade mássica \rho permite obter a concentração molar \,n/V por
\frac{n}{V}=\frac{\rho}{M},
onde \rho está em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 e M em \mathrm{kg}/\mathrm{mol}. Explicando as variáveis: \rho = massa por volume, M = massa de 1 mol, então \rho/M é quantos mols por volume. Substituindo em p:
p=\frac{\rho}{M}RT.
Agora calculo numericamente (mostrando as contas para você conseguir reproduzir na prova): primeiro a concentração molar
\frac{n}{V}=\frac{24}{0{,}0180153}=1332{,}289\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^3.
Depois \,RT:
RT=8{,}314462618\cdot 773{,}15 = 6428{,}326773\\ \mathrm{J/mol}.
Portanto a pressão (em Pa) é
p_{\text{ideal}}=1332{,}289 \times 6428{,}326773 = 8{,}564{,}388{,}77\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kPa:
p_{\text{ideal}}=8{,}564{,}389\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

(b) Equação de van der Waals — revisão da equação e determinação de a e b a partir das constantes críticas.
A equação de van der Waals escrita em termos do volume molar \bar v=V/n é
p=\frac{RT}{\bar v-b}-\frac{a}{\bar v^2}.
As constantes a e b podem ser obtidas das constantes críticas pelo sistema padrão (derivadas impondo ponto crítico para a equação de van der Waals):
a=\frac{27R^2T_c^2}{64P_c},\qquad b=\frac{RT_c}{8P_c}.
Explicando: a mede atrações intermoleculares (unidade: \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^6/\mathrm{mol}^2) e b mede volume finito das moléculas (unidade: \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}). Vou calcular a e b em SI.
Calculo de b:
b=\frac{8{,}314462618\cdot 647{,}3}{8\cdot 22{,}060{,}000}=3{,}0485\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Calculo de a: primeiro R^2T_c^2, depois fator \tfrac{27}{64P_c}:
a=\frac{27(8{,}314462618)^2(647{,}3)^2}{64\cdot 22{,}060{,}000}\approx 0{,}5537\\ \mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^6/\mathrm{mol}^2.
Agora preciso do volume molar \bar v (já que eu tenho n/V):
\bar v=\frac{1}{n/V}=\frac{1}{1332{,}289}=7{,}506\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Substituo na van der Waals:
p_{\text{vdW}}=\frac{RT}{\bar v-b}-\frac{a}{\bar v^2}.
Calculemos os dois termos separadamente (mostrando a lógica para prova): primeiro
\bar v-b=7{,}506\times10^{-4}-3{,}0485\times10^{-5}=7{,}2012\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol},
\frac{RT}{\bar v-b}=\frac{6428{,}326773}{7{,}2012\times10^{-4}}=8{,}926{,}722\\ \mathrm{Pa}.
Segundo termo:
\frac{a}{\bar v^2}=\frac{0{,}5537}{(7{,}506\times10^{-4})^2} \approx 982{,}999\\ \mathrm{Pa}.
Logo
p_{\text{vdW}}=8{,}926{,}722-982{,}999=7{,}943{,}723\\ \mathrm{Pa}=7{,}943{,}723\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

(c) Fator de compressibilidade — explicação e cálculo.
Conceito: o fator de compressibilidade Z relaciona a pressão real com a ideal através de
Z=\frac{p\bar v}{RT}.
Rearranjando para a pressão real usando o mesmo volume molar que usamos para o gás ideal:
p=Z\frac{RT}{\bar v}=Z\,p_{\text{ideal}}.
Ou seja, basta multiplicar a pressão ideal pelo valor de Z. Como no enunciado Z=0{,}925,
p_Z=0{,}925\times 8{,}564{,}388{,}77\\ \mathrm{Pa}=7{,}922{,}059{,}62\\ \mathrm{Pa}=7{,}922{,}060\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

(d) Comparação de precisão entre os quatro valores (meus resultados em (a) e (b), e os valores fornecidos: tabela \,8{,}054\\ \mathrm{kPa} e Redlich–Kwong \,7{,}930\\ \mathrm{kPa}).
Vou calcular o desvio percentual de cada resultado em relação ao valor da tabela de vapor (usarei a tabela como referência experimental), porque tabelas de vapor são dados experimentais muito confiáveis e normalmente considerados a referência para pressão de saturação/estado real da água. O desvio percentual é
\text{erro\%}=\frac{p_{\text{modelo}}-p_{\text{tabela}}}{p_{\text{tabela}}}\times 100\%.
Cálculos (usando p_{\text{tabela}}=8{,}054\\ \mathrm{kPa}):
\text{ideal: }\frac{8{,}564{,}389-8{,}054}{8{,}054}\times100\%=+6{,}34\%.
\text{vdW: }\frac{7{,}943{,}723-8{,}054}{8{,}054}\times100\%=-1{,}37\%.
\text{Z (dado): }\frac{7{,}922{,}060-8{,}054}{8{,}054}\times100\%=-1{,}64\%.
\text{Redlich–Kwong (fornecido): }\frac{7{,}930-8{,}054}{8{,}054}\times100\%\approx -1{,}55\%.
Interpretação final: a tabela de vapor é a referência experimental e, portanto, o valor mais preciso é o da tabela ( 8{,}054\\ \mathrm{kPa}). Entre os modelos teóricos/approximações, todos os modelos não-ideais (vdW, Redlich–Kwong, correção via Z) ficam dentro de cerca de 1{,}4\% 1{,}7\% da tabela; o modelo ideal está bem pior (erro \sim 6{,}3\%). Notas práticas para prova: sempre que houver tabela experimental disponível, ela deve ser preferida; entre equações de estado, modelos mais sofisticados (RK e outros) tipicamente dão melhores resultados para vapor denso, mas aqui o vdW forneceu um número também bastante próximo da tabela.

Resposta

(a) p_{\text{ideal}}=8{,}564{,}389\\ \mathrm{kPa}
(b) p_{\text{vdW}}=7{,}943{,}723\\ \mathrm{kPa}
(c) p_{Z}=7{,}922{,}060\\ \mathrm{kPa} (usando Z=0{,}925)
(d) O valor mais preciso é o da tabela de vapor: 8{,}054\\ \mathrm{kPa} (dados experimentais).

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