As temperaturas de bulbo seco e úmido do ar atmosférico a 1 atm ( 101,325 \mathrm{kPa} ) de pressão são medidas com um psicrômetro de estilingue e determinadas como 25^{\circ} e 15^{\circ}, respectivamente. Determine:
a umidade relativa

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a grandeza indicada:
  • Temperatura de bulbo seco: T_{db}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de bulbo úmido: T_{wb}=15^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica: P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Pergunta: determinar a umidade relativa do ar (em porcentagem).

Passo 2

Definição e estratégia (conceito que vamos usar).
  • A umidade relativa ( \mathrm{RH}) é a razão entre a pressão parcial de vapor de água no ar ( e) e a pressão de vapor de saturação à temperatura do bulbo seco ( e_{s}(T_{db})), multiplicada por 100\%:
\mathrm{RH} = \frac{e}{e_{s}(T_{db})}\times 100\%.
  • Num psicrômetro ventilado (estilingue) usamos a relação entre a pressão de saturação no bulbo úmido e a pressão real:
e = e_{s}(T_{wb}) - \gamma\,(T_{db}-T_{wb}),
onde e_{s}(T_{wb}) é a pressão de vapor de saturação à temperatura do bulbo úmido, T_{db}-T_{wb} é o resfriamento adiabático efetivo e \gamma é a constante psicrométrica (em \mathrm{kPa/^\circ C}). Vou explicar e calcular cada termo passo a passo.

Passo 3

O que é a constante psicrométrica \gamma e como calculá-la.
  • A constante psicrométrica pode ser obtida por:
\gamma = \frac{c_{p}\,P}{\varepsilon\,L_{v}},
onde:
  • c_{p} é o calor específico do ar a pressão constante, aproximadamente c_{p}=1{,}013\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • P é a pressão total do ar, aqui P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • \varepsilon é a razão de massas M_{v}/M_{d}\approx 0{,}622.
  • L_{v} é o calor latente de vaporização da água (aprox. L_{v}=2501\\ \mathrm{kJ/kg}, valor típico perto de temperaturas ambiente).
  • Calculando numericamente:
\gamma = \frac{1{,}013\cdot 101{,}325}{0{,}622\cdot 2501}.
Agora os passos aritméticos:
\text{numerador} = 1{,}013\times 101{,}325 = 102{,}678{,}225\\ (\text{kJ/(kg·^\circ C)}\cdot\text{kPa})
\text{denominador} = 0{,}622\times 2501 = 1{,}555{,}622
\gamma \approx \frac{102{,}678{,}225}{1{,}555{,}622}\\ \mathrm{kPa/^\circ C}\approx 0{,}06598\\ \mathrm{kPa/^\circ C}.
(Observação rápida: muitos tabelas/soluções usam a aproximação prática \gamma\approx 0{,}00066\,P com P em \mathrm{kPa}, que dá valor bem parecido.)

Passo 4

Calcular as pressões de vapor de saturação e_{s}(T) nas temperaturas dadas (fórmula de Tetens, prática e precisa para temperatura em °C).
  • A fórmula de Tetens:
e_{s}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(em kPa, com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\)).}
  • Primeiro para T_{wb}=15^\circ\mathrm{C}:
\frac{17{,}27\cdot 15}{15+237{,}3}=\frac{259{,}05}{252{,}3}\approx 1{,}02666,
e_{s}(15)=0{,}61078\exp(1{,}02666)\approx 0{,}61078\times 2{,}7909\approx 1{,}705\\ \mathrm{kPa}.
  • Depois para T_{db}=25^\circ\mathrm{C}:
\frac{17{,}27\cdot 25}{25+237{,}3}=\frac{431{,}75}{262{,}3}\approx 1{,}6470,
e_{s}(25)=0{,}61078\exp(1{,}6470)\approx 0{,}61078\times 5{,}1899\approx 3{,}169\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular a pressão parcial real de vapor e usando a equação psicrométrica.
  • Aplicando
e = e_{s}(T_{wb}) - \gamma\,(T_{db}-T_{wb})
com e_{s}(15)\approx 1{,}705\\ \mathrm{kPa}, \gamma\approx 0{,}06598\\ \mathrm{kPa/^\circ C} e T_{db}-T_{wb}=25-15=10^\circ\mathrm{C}:
e \approx 1{,}705 - 0{,}06598\times 10 = 1{,}705 - 0{,}6598 \approx 1{,}045\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Calcular a umidade relativa \mathrm{RH}.
  • Usando
\mathrm{RH} = \frac{e}{e_{s}(T_{db})}\times 100\% = \frac{1{,}045}{3{,}169}\times 100\%.
  • Fazendo a divisão:
\frac{1{,}045}{3{,}169}\approx 0{,}3297,
\mathrm{RH}\approx 32{,}97\%\approx 33{,}0\%.

Passo 7

Comentário prático para a prova (dica rápida):
  • Se estiver com pouco tempo, use e_{s} em tabelas ou a fórmula de Tetens rápida e a aproximação \gamma\approx 0{,}00066\,P (com P em \mathrm{kPa}) para calcular e. O resultado será praticamente o mesmo: \mathrm{RH}\approx 33\%. Força aí — essa conta é bem típica em provas de termodinâmica/transferência de calor.

Resposta

\mathrm{RH}\approx 33{,}0\%

Exercícios relacionados