Estime a densidade do etanol líquido a
e 200 bar.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pedem: estimar a densidade do etanol líquido às condições
e . - Informações fornecidas implicitamente: temperatura e pressão de interesse.
- Observação importante (útil para escolher método):
e a pressão dada é . Estas condições estão abaixo da temperatura crítica do etanol, mas a uma pressão muito superior à pressão de saturação àquela temperatura — portanto o etanol estará como líquido comprimido (não em equilíbrio de vapor àquela temperatura).
Passo 2
Escolha do método (e por quê): vou usar uma equação de estado cúbica (Peng–Robinson) para estimar a densidade do líquido comprimido. Por que isso?
- Para líquidos comprimidos a elevada pressão a densidade difere da de líquido saturado; uma equação de estado (EoS) permite estimar o volume molar na condição
. - Entre várias EoS, a Peng–Robinson (PR) é simples, amplamente usada e razoavelmente precisa para muitos líquidos orgânicos se tivermos as propriedades críticas e o fator acêntrico.
- Método alternativo (usar densidade saturada e corrigir com compressibilidade isotérmica) é possível, mas exige dados de compressibilidade e pressão de saturação; a PR dá uma estimativa direta e didática.
Vou então aplicar a PR: explico as fórmulas e calculo passo a passo (sem pular contas).
Passo 3
Constantes e parâmetros físicos que usarei (valores típicos para etanol):
- Temperatura:
. - Pressão:
. - Constante dos gases:
. - Massa molar do etanol:
. - Propriedades críticas do etanol (valores padrão usados em EoS):
(Usei esses valores padrão; pequenas variações nesses números mudam o resultado final só modestamente.)
Passo 4
Fórmulas básicas da Peng–Robinson e interpretação das variáveis:
- Parâmetros da PR:
Aqui tem dimensão de e tem dimensão de . - Correção de temperatura:
- Parâmetros adimensionais para o polinômio cúbico em
(fator de compressibilidade): - A equação cúbica para
(forma PR padrão): - Uma vez encontrado o
correspondente ao estado líquido (menor raiz real), o volume molar é e a densidade é
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo dos parâmetros
e
:
- Primeiro calcule
: Substituindo:
Resultado:
(valor aproximado, preservando as ordens).
- Agora
:
Passo 6
Cálculo de
,
,
,
e
:
- Cálculo de
: - Razão de temperaturas reduzida:
- Assim
- Então
- Agora
e : Numericamente:
Passo 7
Montagem da equação cúbica em
e cálculo dos coeficientes:
- Coeficientes da cúbica:
- Logo a cúbica é
Passo 8
Encontrar a raiz líquida (menor raiz real) da cúbica — resolução numérica por tentativa/aval:
- Testando valores para
(avaliando o polinômio):
- Assim existe uma raiz entre
e . Refinando, obtemos a raiz líquida
(Explicação curta: a PR produz três raízes reais em regiões de coexistência; aqui, a menor raiz é a que corresponde ao líquido comprimido. Fiz uma busca simples por tentativa e refino — em prova você pode usar tabela de valores ou método de Newton se preferir.)
Passo 9
Cálculo do volume molar e da densidade a partir de
:
- Volume molar:
- Densidade massica:
Passo 10
Interpretação, verificação rápida e incerteza:
- Resultado obtido:
. - Consistência qualitativa: densidade menor que a do etanol líquido a
( )—esperado porque a temperatura é muito maior e estamos relativamente abaixo, mas razoavelmente próximos do domínio de líquido comprimido; o valor está entre densidade típica de líquidos orgânicos e a densidade crítica baixa. - Erro esperado: usando uma EoS cúbica com propriedades críticas padrão, a incerteza típica pode ser da ordem de alguns por cento até talvez
dependendo da qualidade das constantes críticas e do modelo; portanto o valor é uma boa estimativa para prova/ordens de grandeza. - Observação prática: se você só precisasse de uma estimativa rápida em prova (sem tabelas), poderia também usar a densidade saturada a
e aplicar correção linear com a compressibilidade isotérmica — daria um valor similar na faixa de alguns centenas de .