Estime a densidade do etanol líquido a 180^{\circ} \mathrm{C} e 200 bar.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pedem: estimar a densidade do etanol líquido às condições 180^\circ\mathrm{C} e 200\\ \mathrm{bar}.
  • Informações fornecidas implicitamente: temperatura e pressão de interesse.
  • Observação importante (útil para escolher método): 180^\circ\mathrm{C}=453{,}15\\ \mathrm{K} e a pressão dada é 200\\ \mathrm{bar}=20\\ \mathrm{MPa}. Estas condições estão abaixo da temperatura crítica do etanol, mas a uma pressão muito superior à pressão de saturação àquela temperatura — portanto o etanol estará como líquido comprimido (não em equilíbrio de vapor àquela temperatura).

Passo 2

Escolha do método (e por quê): vou usar uma equação de estado cúbica (Peng–Robinson) para estimar a densidade do líquido comprimido. Por que isso?
  • Para líquidos comprimidos a elevada pressão a densidade difere da de líquido saturado; uma equação de estado (EoS) permite estimar o volume molar na condição (T,P).
  • Entre várias EoS, a Peng–Robinson (PR) é simples, amplamente usada e razoavelmente precisa para muitos líquidos orgânicos se tivermos as propriedades críticas e o fator acêntrico.
  • Método alternativo (usar densidade saturada e corrigir com compressibilidade isotérmica) é possível, mas exige dados de compressibilidade e pressão de saturação; a PR dá uma estimativa direta e didática.
Vou então aplicar a PR: explico as fórmulas e calculo passo a passo (sem pular contas).

Passo 3

Constantes e parâmetros físicos que usarei (valores típicos para etanol):
  • Temperatura: T = 180^\circ\mathrm{C} = 453{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: P = 200\\ \mathrm{bar} = 20{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante dos gases: R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Massa molar do etanol: M = 46{,}068\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Propriedades críticas do etanol (valores padrão usados em EoS): T_c = 514{,}0\\ \mathrm{K},\qquad P_c = 6{,}137\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},\qquad \omega = 0{,}644.
(Usei esses valores padrão; pequenas variações nesses números mudam o resultado final só modestamente.)

Passo 4

Fórmulas básicas da Peng–Robinson e interpretação das variáveis:
  • Parâmetros da PR: a = 0{,}45724\,\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c},\qquad b = 0{,}07780\,\frac{R T_c}{P_c}.Aqui a tem dimensão de \mathrm{Pa\;m^{6}\;mol^{-2}} e b tem dimensão de \mathrm{m^{3}\;mol^{-1}}.
  • Correção de temperatura: \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^{2}, \qquad \alpha = \bigl(1 + \kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^{2}.
  • Parâmetros adimensionais para o polinômio cúbico em Z (fator de compressibilidade): A = \frac{a\alpha P}{R^{2}T^{2}},\qquad B = \frac{b P}{R T}.
  • A equação cúbica para Z (forma PR padrão): Z^{3} - (1-B)Z^{2} + (A - 3B^{2} - 2B)Z - (AB - B^{2} - B^{3}) = 0.
  • Uma vez encontrado o Z correspondente ao estado líquido (menor raiz real), o volume molar é V_{m} = \frac{Z R T}{P},e a densidade é \rho = \frac{M}{V_{m}}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo dos parâmetros a e b:
  • Primeiro calcule a: a = 0{,}45724\,\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}.Substituindo: R^{2}T_c^{2}\approx 69{,}13\times(514)^{2}\approx 1{,}8274\times10^{7},
a \approx 0{,}45724\frac{1{,}8274\times10^{7}}{6{,}137\times10^{6}} \approx 1{,}362\\ \text{(SI units)}.
Resultado: a \approx 1{,}362\\ \mathrm{Pa\;m^{6}\;mol^{-2}} (valor aproximado, preservando as ordens).
  • Agora b: b = 0{,}07780\,\frac{R T_c}{P_c}.
R T_c \approx 8{,}31446\times514 \approx 4{,}273{,}6\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},
b \approx 0{,}07780\frac{4{,}273{,}6}{6{,}137\times10^{6}} \approx 5{,}42\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}.

Passo 6

Cálculo de \kappa, \alpha, a\alpha, A e B:
  • Cálculo de \kappa: \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\omega - 0{,}26992\omega^{2} \approx 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}644) - 0{,}26992(0{,}644)^{2} \approx 1{,}256.
  • Razão de temperaturas reduzida: T/T_c = \frac{453{,}15}{514}\approx 0{,}8821,\qquad \sqrt{T/T_c}\approx 0{,}9393.
  • Assim \alpha = \bigl(1 + \kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr)^{2} \approx (1 + 1{,}256\cdot 0{,}0607)^{2} \approx (1{,}0762)^{2} \approx 1{,}1581.
  • Então a\alpha \approx 1{,}362\times 1{,}1581 \approx 1{,}577.
  • Agora A e B: A = \frac{a\alpha P}{R^{2}T^{2}},\qquad B = \frac{bP}{RT}.Numericamente: R^{2}T^{2}\approx 1{,}4198\times10^{7},\quad P=2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{Pa},
A \approx \frac{1{,}577\times 2{,}0\times10^{7}}{1{,}4198\times10^{7}} \approx 2{,}22,
RT \approx 8{,}31446\times453{,}15 \approx 3{,}767{,}7\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},
bP \approx 5{,}42\times10^{-5}\times 2{,}0\times10^{7}\approx 1{,}084,
B \approx \frac{1{,}084}{3{,}767{,}7}\approx 0{,}2878.

Passo 7

Montagem da equação cúbica em Z e cálculo dos coeficientes:
  • Coeficientes da cúbica: 1-B \approx 1 - 0{,}2878 = 0{,}7122,
A - 3B^{2} - 2B \approx 2{,}22 - 3(0{,}2878^{2}) - 2(0{,}2878) \approx 1{,}396,
AB - B^{2} - B^{3} \approx (2{,}22)(0{,}2878) - 0{,}2878^{2} - 0{,}2878^{3} \approx 0{,}5324.
  • Logo a cúbica é Z^{3} - 0{,}7122\,Z^{2} + 1{,}396\,Z - 0{,}5324 = 0.

Passo 8

Encontrar a raiz líquida (menor raiz real) da cúbica — resolução numérica por tentativa/aval:
  • Testando valores para Z (avaliando o polinômio): f(0{,}1)\approx -0{,}399\quad(\text{negativo}),\quad f(0{,}4)\approx -0{,}024\quad(\text{ligeiramente negativo}),
f(0{,}42)\approx +0{,}0025\quad(\text{ligeiramente positivo}).
  • Assim existe uma raiz entre Z\approx 0{,}40 e 0{,}42. Refinando, obtemos a raiz líquida Z_{\text{líq}}\approx 0{,}418\\ (\text{aproximadamente}).í
(Explicação curta: a PR produz três raízes reais em regiões de coexistência; aqui, a menor raiz é a que corresponde ao líquido comprimido. Fiz uma busca simples por tentativa e refino — em prova você pode usar tabela de valores ou método de Newton se preferir.)

Passo 9

Cálculo do volume molar e da densidade a partir de Z_{\text{líq}}í:
  • Volume molar: V_{m} = \frac{Z R T}{P} = \frac{0{,}418\times 3{,}767{,}7}{2{,}0\times10^{7}} \approx 7{,}884\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}.
  • Densidade massica: \rho = \frac{M}{V_{m}} = \frac{46{,}068\times10^{-3}}{7{,}884\times10^{-5}} \approx 584{,}4\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Passo 10

Interpretação, verificação rápida e incerteza:
  • Resultado obtido: \rho\approx 5{,}84\times10^{2}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Consistência qualitativa: densidade menor que a do etanol líquido a 20^\circ\mathrm{C} ( \sim 789\\ \mathrm{kg\,m^{-3}})—esperado porque a temperatura é muito maior e estamos relativamente abaixo, mas razoavelmente próximos do domínio de líquido comprimido; o valor está entre densidade típica de líquidos orgânicos e a densidade crítica baixa.
  • Erro esperado: usando uma EoS cúbica com propriedades críticas padrão, a incerteza típica pode ser da ordem de alguns por cento até talvez 10\% dependendo da qualidade das constantes críticas e do modelo; portanto o valor é uma boa estimativa para prova/ordens de grandeza.
  • Observação prática: se você só precisasse de uma estimativa rápida em prova (sem tabelas), poderia também usar a densidade saturada a T e aplicar correção linear com a compressibilidade isotérmica — daria um valor similar na faixa de alguns centenas de \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Resposta

\rho \approx 584{,}4\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

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