Calcule a pressão exercida
Por 90 g de \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}, comportando-se como um gás de van der Waals, quando está confinado nas seguintes condições: (i) a 300,15 \mathrm{~K} em 2 \mathrm{~m}^{3}, (ii) a 900 K em 1200 \mathrm{dm}^{3}.
Dados:
a\left(\mathrm{atm} \mathrm{dm}^{6} \mathrm{~mol}^{-2}\right) b\left(10^{-2} \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}\right)
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} 4,55 5,82
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} 5,507 6,51
\mathrm{CH}_{4} 14,61 4,31

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (lista clara, sem resolver ainda).
  • Pede: calcular a pressão exercida por 90\\ \mathrm{g} de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}, tratando o gás como um gás de van der Waals, em dois estados:
    1. T=300{,}15\\ \mathrm{K} e V=2\\ \mathrm{m}^{3}.
    2. T=900\\ \mathrm{K} e V=1200\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Dados fornecidos na tabela (peguei os valores da linha de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}):
    • a = 5{,}507\\ \mathrm{atm\;dm^{6}\;mol^{-2}}.
    • b = 6{,}51\times 10^{-2}\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}} = 0{,}0651\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}.
  • Massa do gás: m=90\\ \mathrm{g}.
  • Observações de unidades que vou usar (importante):
    • A equação de van der Waals está convenientemente escrita para pressões em \mathrm{atm} e volumes em \mathrm{dm^{3}} se usarmos R em \mathrm{atm\;dm^{3}\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
    • Vou usar R = 0{,}082057\\ \mathrm{atm\;dm^{3}\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
    • Converter volumes quando necessário: 1\\ \mathrm{m^{3}} = 1000\\ \mathrm{dm^{3}}. Logo 2\\ \mathrm{m^{3}} = 2000\\ \mathrm{dm^{3}}.

Passo 2

Calcular a quantidade de matéria n (número de mols) de \mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}.
  • Molaridade (massa molar) do etano:
    M = 2\cdot 12{,}01 + 6\cdot 1{,}008 = 24{,}02 + 6{,}048 = 30{,}068\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}\approx 30{,}07\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Número de mols:
    n=\frac{m}{M}=\frac{90\\ \mathrm{g}}{30{,}07\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}\approx 2{,}993\\ \mathrm{mol}.
(Guardei n\approx 2{,}993\\ \mathrm{mol} para usar nas contas.)

Passo 3

Escrever a equação de van der Waals e explicar cada termo; ajustar b à forma numérica pronta.
  • A equação de van der Waals para um gás real é
    \left(P + a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}\right)\,(V - n b)=n R T.
    Onde:
    • P é a pressão que queremos (em \mathrm{atm}).
    • V é o volume total ocupado pelo gás (em \mathrm{dm^{3}}).
    • n é o número de mols (em \mathrm{mol}).
    • T é a temperatura (em \mathrm{K}).
    • a corrige forças intermoleculares (unidades \mathrm{atm\;dm^{6}\;mol^{-2}}).
    • b corrige o volume próprio das moléculas (unidades \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}).
    • R é a constante dos gases na unidade compatível: R=0{,}082057\\ \mathrm{atm\;dm^{3}\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Valor numérico de b (peguei da tabela, que dava b em 10^{-2}\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}):
    b = 6{,}51\times 10^{-2}\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}} = 0{,}0651\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}.
Agora aplico a fórmula nos dois casos. A estratégia algébrica prática para isolar P é:
P=\frac{nRT}{V-nb}-a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}.
Vou calcular cada parcela (term by term) com cuidado.

Passo 4

Caso (i): T=300{,}15\\ \mathrm{K}, V=2\\ \mathrm{m^{3}}=2000\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Valores usados: n=2{,}993\\ \mathrm{mol},\quad V=2000\\ \mathrm{dm^{3}},\quad T=300{,}15\\ \mathrm{K},
a=5{,}507\\ \mathrm{atm\;dm^{6}\;mol^{-2}},\quad b=0{,}0651\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}},\quad R=0{,}082057\\ \mathrm{atm\;dm^{3}\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Calcular \dfrac{n}{V}:
    \frac{n}{V}=\frac{2{,}993}{2000}=0{,}00149655\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}}.
  • Calcular o termo de correção a\left(\dfrac{n}{V}\right)^{2}:
    \left(\frac{n}{V}\right)^{2}=(0{,}00149655)^{2}=2{,}2397\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol^{2}\;dm^{-6}},
a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}=5{,}507\times 2{,}2397\times 10^{-6}=1{,}2328\times 10^{-5}\\ \mathrm{atm}.
  • Calcular V-nb: nb=2{,}993\times 0{,}0651=0{,}1947\\ \mathrm{dm^{3}},
V-nb=2000-0{,}1947=1999{,}8053\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Calcular nRT:
    nRT=2{,}993\times 0{,}082057\times 300{,}15\approx 73{,}7182\\ \mathrm{atm\;dm^{3}}.
  • Agora a pressão:
    P=\frac{nRT}{V-nb}-a\left(\frac{n}{V}\right)^{2} =\frac{73{,}7182}{1999{,}8053}-1{,}2328\times 10^{-5}.
\frac{73{,}7182}{1999{,}8053}\approx 0{,}0368596\\ \mathrm{atm},
P\approx 0{,}0368596-0{,}000012328=0{,}0368473\\ \mathrm{atm}.
  • Conversão útil para unidades do dia a dia: 1\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}, P\approx 0{,}0368473\times 101{,}325\approx 3{,}7338\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Caso (ii): T=900\\ \mathrm{K}, V=1200\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Valores usados (reaproveitando n, a, b, R):
    n=2{,}993\\ \mathrm{mol},\quad V=1200\\ \mathrm{dm^{3}},\quad T=900\\ \mathrm{K}.
  • Calcular \dfrac{n}{V}:
    \frac{n}{V}=\frac{2{,}993}{1200}=0{,}00249425\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}}.
  • Calcular o termo de correção a\left(\dfrac{n}{V}\right)^{2}:
    \left(\frac{n}{V}\right)^{2}=(0{,}00249425)^{2}=6{,}2213\times 10^{-6},
a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}=5{,}507\times 6{,}2213\times 10^{-6}=3{,}4268\times 10^{-5}\\ \mathrm{atm}.
  • Calcular V-nb: nb=0{,}1947\\ \mathrm{dm^{3}}\quad(\text{mesmo que antes}),
V-nb=1200-0{,}1947=1199{,}8053\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Calcular nRT:
    nRT=2{,}993\times 0{,}082057\times 900\approx 221{,}0449\\ \mathrm{atm\;dm^{3}}.
  • Agora a pressão:
    P=\frac{nRT}{V-nb}-a\left(\frac{n}{V}\right)^{2} =\frac{221{,}0449}{1199{,}8053}-3{,}4268\times 10^{-5}.
\frac{221{,}0449}{1199{,}8053}\approx 0{,}1842065\\ \mathrm{atm},
P\approx 0{,}1842065-0{,}000034268=0{,}1841722\\ \mathrm{atm}.
  • Conversão para \mathrm{kPa}: P\approx 0{,}1841722\times 101{,}325\approx 18{,}665\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Interpretação didática e comparação com o gás ideal (para entender se as correções do van der Waals são importantes aqui).
  • Pressão ideal correspondente (sem correções) é P_{\text{ideal}}=\dfrac{nRT}{V}.
    • Caso (i): P_{\text{ideal}}=\dfrac{73{,}7182}{2000}=0{,}0368591\\ \mathrm{atm}. Comparando com P_{\text{vdW}}=0{,}0368473\\ \mathrm{atm}, a diferença é \approx 1{,}2\times 10^{-5}\\ \mathrm{atm} — desprezível aqui porque o gás está muito diluído ( V enorme).
    • Caso (ii): P_{\text{ideal}}=\dfrac{221{,}0449}{1200}=0{,}1842041\\ \mathrm{atm}. Comparando com P_{\text{vdW}}=0{,}1841722\\ \mathrm{atm}, a diferença é \approx 3{,}4\times 10^{-5}\\ \mathrm{atm} — também muito pequena.
  • Conclusão intuitiva: nas duas situações a densidade molar n/V é baixa, portanto as correções por a e b são pequenas e o resultado fica muito próximo ao do gás ideal. Mesmo assim, aplicar a equação de van der Waals foi o pedido do enunciado e fiz as correções explicitamente.

Resposta

(i) P\approx 0{,}0368473\\ \mathrm{atm}=3{,}7338\\ \mathrm{kPa}
(ii) P\approx 0{,}1841722\\ \mathrm{atm}=18{,}665\\ \mathrm{kPa}

Exercícios relacionados