Calcule a temperatura máxima de chama do gás eteno ( \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} ).
Dados:
Reação de combustão do eteno: \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4(\mathrm{~g})}+3 \mathrm{O}_{2(\mathrm{~g})} \rightarrow 2 \mathrm{CO}_{2(\mathrm{~g})}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{g})}
\Delta H_{298_{H_{2} O_{(g)}}^{0}}=-57,8 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol} ;
\Delta H_{298_{C O_{2}}}^{0}=-94,054 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol};
\Delta H_{298_{C_{2} H_{4}}}^{0}=12,54 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol} ;
c_{p}^{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=7,17+2,56 \cdot 10^{-3} \cdot T-\frac{0,08 \cdot 10^{5}}{T^{2}}[\mathrm{cal} / \mathrm{mol}] ;
c_{p}^{C O_{2}}=10,57+2,1 \cdot 10^{-3} \cdot T-\frac{2,06 \cdot 10^{5}}{T^{2}}[\mathrm{cal} / \mathrm{mol}] ;

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos (peguei todos do enunciado):
  • Pede: calcular a temperatura máxima de chama do eteno, ou seja, a temperatura adiabática T_{\text{máx}}á alcançada pelos produtos quando 1 mol de eteno queima completamente em excesso de oxigênio, partindo tudo a 298\\ \text{K}.
  • Reação de combustão dada: \mathrm{C_{2}H_{4(g)}} + 3\,\mathrm{O_{2(g)}} \rightarrow 2\,\mathrm{CO_{2(g)}} + 2\,\mathrm{H_{2}O_{(g)}}
  • Entalpias padrão de formação a 298\\ \text{K} (unidades em \mathrm{kcal/mol}, conforme enunciado): \Delta H^\circ_{f,\,\mathrm{H_2O(g)}} = -57{,}8\\ \mathrm{kcal/mol}, \qquad \Delta H^\circ_{f,\,\mathrm{CO_2}} = -94{,}054\\ \mathrm{kcal/mol}, \qquad \Delta H^\circ_{f,\,\mathrm{C_2H_4}} = 12{,}54\\ \mathrm{kcal/mol}.(Note que \Delta H^\circ_{f,\,\mathrm{O_2}}=0.)
  • Capacidades caloríficas (função de T), em \mathrm{cal/(mol\cdot K)}: c_{p}^{\mathrm{H_2O}} = 7{,}17 + 2{,}56\cdot10^{-3}T - \frac{0{,}08\cdot10^{5}}{T^{2}},
c_{p}^{\mathrm{CO_2}} = 10{,}57 + 2{,}1\cdot10^{-3}T - \frac{2{,}06\cdot10^{5}}{T^{2}}.
  • Observações importantes (unidades e conv): os \Delta H estão em \mathrm{kcal/mol} e os c_p em \mathrm{cal/(mol\cdot K)}. Para somar energia, vou trabalhar tudo em \mathrm{cal} (1 \mathrm{kcal}=1000\\ \mathrm{cal}) ou tudo em \mathrm{kcal}; aqui vou transformar \Delta H em \mathrm{cal} multiplicando por 1000, porque os c_p estão em \mathrm{cal}.

Passo 2

Calcular a entalpia de reação padrão a 298\\ \text{K}.
Fórmula:
\Delta H^\circ_{\text{rxn},298} = \sum \nu_p\,\Delta H^\circ_{f,p} - \sum \nu_r\,\Delta H^\circ_{f,r}.
Aplicando à reação:
\Delta H^\circ_{\text{rxn},298} = 2\Delta H^\circ_{f,\mathrm{CO_2}} + 2\Delta H^\circ_{f,\mathrm{H_2O}} - \Delta H^\circ_{f,\mathrm{C_2H_4}}.
Substituindo os números (em \mathrm{kcal/mol}):
\Delta H^\circ_{\text{rxn},298} = 2(-94{,}054) + 2(-57{,}8) - 12{,}54 = -316{,}248\\ \mathrm{kcal/mol}.
Convertendo para \mathrm{cal/mol}:
\Delta H^\circ_{\text{rxn},298} = -316{,}248\\ \mathrm{kcal/mol}\times 1000 = -316{,}248\\ \mathrm{cal/mol}.
Como é exotérmica, a energia liberada por mol de eteno é -\Delta H^\circ_{\text{rxn},298}=316{,}248\\ \mathrm{cal}.

Passo 3

Escrever o balanço de energia adiabático (pressão constante presumida): a energia liberada pela reação aquece os produtos de 298\\ \text{K} até T_{\text{máx}}á. Portanto:
-\Delta H^\circ_{\text{rxn},298} \;=\; \sum_{produtos} \nu_i \int_{298}^{T_{\text{máx}}} c_{p,i}(T)\,dT.á
Para nossa reação:
316{,}248\\ \mathrm{cal} \;=\; 2\int_{298}^{T_{\text{máx}}} c_p^{\mathrm{CO_2}}(T)\,dT \;+\; 2\int_{298}^{T_{\text{máx}}} c_p^{\mathrm{H_2O}}(T)\,dT.áá
Explico: o lado esquerdo é a energia liberada por 1 mol de eteno; o lado direito é o aquecimento de 2 mol de \mathrm{CO_2} e 2 mol de \mathrm{H_2O(g)} de 298 até T_{\text{máx}}á.

Passo 4

Calcular as integrais das formas de c_p. Para uma função do tipo
c_p(T)=a + bT - \frac{D}{T^{2}},
temos a integral
\int_{298}^{T} c_p(T)\,dT = a(T-298) + \frac{b}{2}\bigl(T^{2}-298^{2}\bigr) + D\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{298}\Bigr).
Explicando cada termo:
  • a(T-298) é a contribuição linear (a constante a vezes a variação de temperatura),
  • \dfrac{b}{2}(T^{2}-298^{2}) vem de \int bT\,dT,
  • D\bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{298}\bigr) vem de \int -D/T^{2}\,dT (observe que o sinal resulta em +D/T avaliado nos limites).
Agora aplicar isso para \mathrm{CO_2} e \mathrm{H_2O} e somar.

Passo 5

Construir a expressão numérica combinada (em \mathrm{cal}).
Primeiro extraio os coeficientes (somando CO2 + H2O para um conjunto de 1 mol de cada):
  • a_{\text{total}} = a_{\mathrm{CO_2}} + a_{\mathrm{H_2O}} = 10{,}57 + 7{,}17 = 17{,}74.
  • b_{\text{total}} = b_{\mathrm{CO_2}} + b_{\mathrm{H_2O}} = 2{,}1\times10^{-3} + 2{,}56\times10^{-3} = 4{,}66\times10^{-3}.
  • D_{\text{total}} = D_{\mathrm{CO_2}} + D_{\mathrm{H_2O}} = 2{,}06\times10^{5} + 0{,}08\times10^{5} = 2{,}14\times10^{5}.
Para 1 mol de \mathrm{CO_2} + 1 mol de \mathrm{H_2O} a integral é
I_{\text{total}}(T) = a_{\text{total}}(T-298) + \frac{b_{\text{total}}}{2}\bigl(T^{2}-298^{2}\bigr) + D_{\text{total}}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{298}\Bigr).
Como há 2 mol de cada produto, a energia total em \mathrm{cal} é
E(T) = 2\,I_{\text{total}}(T).
A equação a resolver é
E(T) = 316{,}248.
Escrevendo explicitamente (valores numéricos):
2\cdot 17{,}74\,(T-298) \;+\; 4{,}66\times10^{-3}\,(T^{2}-298^{2}) \;+\; 2\cdot 2{,}14\times10^{5}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{298}\Bigr) = 316{,}248.

Passo 6

Resolver numericamente a equação não-linear por tentativa/iteração (método prático em prova: testar alguns T e interpolar). Vou mostrar alguns cálculos intermédios para aprender a fazer isso na prova.
Cálculos de referência (mostro como calcular cada termo; todas as quantidades em \mathrm{cal}):
Para um T qualquer computa-se:
I_{\text{total}}(T)=17{,}74\,(T-298)+0{,}00233\,(T^{2}-298^{2})+214{,}000\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{298}\Bigr),
onde notei \dfrac{b_{\text{total}}}{2}=0{,}00466/2=0{,}00233 e D_{\text{total}}=214{,}000. Depois E(T)=2I_{\text{total}}(T).
Vou avaliar E(T) em alguns T:
  • Para T=3000\\ \text{K}:
    I_{\text{total}}\approx 68{,}055\\ \mathrm{cal},\qquad E(3000)\approx 136{,}110\\ \mathrm{cal}.
    (ainda muito menor que 316{,}248, então T_{\text{máx}}á é maior.)
  • Para T=4000\\ \text{K}:
    I_{\text{total}}\approx 102{,}082\\ \mathrm{cal},\qquad E(4000)\approx 204{,}164\\ \mathrm{cal}.
    (ainda menor.)
  • Para T=5000\\ \text{K}:
    I_{\text{total}}\approx 140{,}781\\ \mathrm{cal},\qquad E(5000)\approx 281{,}562\\ \mathrm{cal}.
    (cada vez mais perto, mas ainda abaixo de 316{,}248.)
  • Para T=5400\\ \text{K}:
    I_{\text{total}}\approx 157{,}566{,}7\\ \mathrm{cal},\qquad E(5400)\approx 315{,}133\\ \mathrm{cal}.
    (muito próximo, ligeiramente abaixo do necessário.)
  • Para T=5420\\ \text{K}:
    I_{\text{total}}\approx 158{,}425{,}8\\ \mathrm{cal},\qquad E(5420)\approx 316{,}851{,}6\\ \mathrm{cal}.
    (agora um pouco acima.)
Como E(5400)=315{,}133 e E(5420)=316{,}852, a solução T_{\text{máx}}á está entre 5400 e 5420. Interpolando linearmente (boa prática rápida em prova quando a função é suave), ou fazendo uma iteração adicional, encontra-se:
  • Para T=5413\\ \text{K} (avaliação fina): I_{\text{total}}\approx 158{,}125\\ \mathrm{cal},\qquad E(5413)\approx 316{,}250\\ \mathrm{cal},
o que coincide praticamente com 316{,}248\\ \mathrm{cal} (diferença de apenas algumas unidades de caloria, desprezível diante das aproximações).
Portanto a solução numérica é
T_{\text{máx}}\approx 5413\\ \text{K}.á
(Resumo rápido do procedimento para prova: calcule \Delta H^\circ_{\text{rxn}}, escreva a equação energética com integrais de c_p, use a forma primitiva da função dada, transforme unidades consistentemente e resolva por tentativa/interpolação até a precisão desejada.)

Passo 7

Converto para ^\circ\mathrm{C} se desejar:
T_{\text{máx}} - 273{,}15 \approx 5413 - 273{,}15 \approx 5139{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}.á
Observação rápida de prova: este valor é obtido sem considerar dissociação química ou variação com pressão real (assume produtos ideais e sem dissociação). Na prática, dissociação reduz um pouco a temperatura máxima real.

Resposta

T_{\text{máx}} \approx 5413\\ \text{K}á
T_{\text{máx}} \approx 5139{,}9\\ ^\circ\mathrm{C}á

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