Queima-se carbono (carvão) para o aquecimento de 1 t de ferro de 25^{\circ} \mathrm{C} até 1700 { }^{\circ} \mathrm{C}. O carbono é carregado no forno a 200^{\circ} \mathrm{C}. Para a combustão, é utilizado ar préaquecido a 450^{\circ} \mathrm{C} em quantidade estequiométrica para formação de \mathrm{CO}_{2}. As perdas térmicas são de 40000 \mathrm{kcal} / \mathrm{t} de ferro. Determine o consumo de carvão supondo que os gases saem do forno a 1227^{\circ} \mathrm{C}. Suponha que a composição do ar seja: \mathrm{O}_{2}= 21 \% ; \mathrm{N}_{2}=79 \%. Trate todos os gases como ideais.
Dados:
\left(H_{T}-H_{298}\right)_{F e}=9,77 . T+0,2.10^{-3} T^{2}-670 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}
\left(H_{T}-H_{298}\right)_{C}=4,03 \cdot T+0,57 \cdot 10^{-3} T^{2}+\frac{2,04 \cdot 10^{5}}{T}-1936 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}
\left(H_{T}-H_{298}\right)_{N_{2}}=6,83 \cdot T+0,45 \cdot 10^{-3} T^{2}+\frac{0,12 \cdot 10^{5}}{T}-2117 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}
\left(H_{T}-H_{298}\right)_{C O_{2}}=10,57 \cdot T+1,05 \cdot 10^{-3} T^{2}+\frac{2,06 \cdot 10^{5}}{T}-3936 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}
\left(H_{T}-H_{298}\right)_{O_{2}}=7,16 \cdot T+0,5 \cdot 10^{-3} T^{2}+\frac{0,4 \cdot 10^{5}}{T}-2313 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}
\mathrm{C}+\mathrm{O}_{2} \rightarrow \mathrm{CO}_{2} \quad \Delta H_{R_{298}}^{0}=-94,054 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}
\mathrm{MMc}_{\mathrm{C}}=12;
\mathrm{MMFe}_{\mathrm{Fe}}=55,85 ;

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (resumo claro):
  • Pede o consumo de carvão (massa de carbono) para aquecer 1\\ \text{t} de ferro de 25^\circ\text{C} até 1700^\circ\text{C}, com perdas térmicas de 40000\\ \text{kcal/t}.
  • Condições de entrada/saída e estoquiometria fornecidas:
    • Ferro inicial: 25^\circ\text{C} (ou seja \,298{,}15\\ \text{K}\,) e final 1700^\circ\text{C} ( =1973{,}15\\ \text{K}).
    • Carbono carregado no forno a 200^\circ\text{C} ( =473{,}15\\ \text{K}).
    • Ar pré-aquecido a 450^\circ\text{C} ( =723{,}15\\ \text{K}).
    • Gases saem a 1227^\circ\text{C} ( =1500{,}15\\ \text{K}).
    • Combustão estequiométrica: \mathrm{C}+\mathrm{O}_2\rightarrow\mathrm{CO}_2.
    • Composição do ar: \mathrm{O}_2 = 21\%, \mathrm{N}_2 = 79\% (logo, para cada mol de \mathrm{O}_2 no ar há \dfrac{79}{21}=3{,}76190476 mols de \mathrm{N}_2).
  • Dados úteis e constantes:
    • \Delta H_{R_{298}}^0(\mathrm{C}+\mathrm{O}_2\to\mathrm{CO}_2) = -94{,}054\\ \text{kcal/mol} (energia liberada à 298\\ \text{K} é 94{,}054\\ \text{kcal/mol}).
    • Funções de entalpia (todas em \text{cal/mol}): dadas no enunciado para \mathrm{Fe},\\ \mathrm{C},\\ \mathrm{N}_2,\\ \mathrm{CO}_2,\\ \mathrm{O}_2.
    • Massas molares: \mathrm{MM}_\mathrm{C}=12\\ \text{g/mol}, \mathrm{MM}_\mathrm{Fe}=55{,}85\\ \text{g/mol}.
  • O que vamos calcular:
    1. Energia necessária para aquecer 1\\ \text{t} de Fe de 298{,}15\\ \text{K} a 1973{,}15\\ \text{K}.
    2. Somar perdas ( 40000\\ \text{kcal}).
    3. Calcular, por mol de C queimado, a energia “útil” disponível para aquecer o ferro e suprir as perdas, considerando:
      • calor químico de combustão à 298\\ \text{K};
      • mudanças de entalpia (sensiveis) de reagentes (C a 473{,}15\\ \text{K}, O2 a 723{,}15\\ \text{K}) até produtos (CO2 a 1500{,}15\\ \text{K});
      • calor gasto aquecendo o N2 que acompanha o ar (de 723{,}15\\ \text{K} até 1500{,}15\\ \text{K}).
    4. Dividir a energia total necessária pela energia útil por mol de C para obter os mols de C e então a massa de carbono.

Passo 2

Cálculo do número de mols de ferro e da energia necessária para aquecê-lo (usando a função dada para \mathrm{Fe}).
  • Mols de ferro em 1\\ \text{t}=1000\\ \text{kg}=1{,}000{,}000\\ \text{g}:
n_{\mathrm{Fe}}=\dfrac{1{,}000{,}000\\ \text{g}}{55{,}85\\ \text{g/mol}} \approx 17\,905{,}10\\ \text{mol}.
  • A entalpia molar para aquecer o ferro de 298{,}15\\ \text{K} até 1973{,}15\\ \text{K} é dada por
\left(H_T-H_{298}\right)_{Fe}=9{,}77\;T+0{,}2\cdot10^{-3}T^{2}-670\quad(\text{cal/mol}).
Aplicando T=1973{,}15\\ \text{K}:
\left(H_{1973}-H_{298}\right)_{Fe}\approx 19\,387{,}34\\ \text{cal/mol}.
(Detalhe do cálculo: 9{,}77\cdot1973{,}15 \approx 19\,278{,}68; 0{,}0002\cdot1973{,}15^2\approx 778{,}66; soma menos 670 \approx19\,387{,}34.)
  • Energia total para aquecer o ferro:
Q_{Fe}=n_{\mathrm{Fe}}\cdot\left(H_{1973}-H_{298}\right)_{Fe} \approx 17\,905{,}10\cdot19\,387{,}34\\ \text{cal} \approx 3{,}47132\times10^{8}\\ \text{cal} = 347\,132{,}3\\ \text{kcal}.

Passo 3

Somar as perdas térmicas (dadas) para obter a exigência total de energia a ser fornecida pelo carvão:
Q_{\text{necessário}}=Q_{Fe}+40\,000\\ \text{kcal}=347\,132{,}3+40\,000=387\,132{,}3\\ \text{kcal}.á

Passo 4

Entender a energia fornecida por 1 mol de carbono queimado, considerando o estado térmico dos reagentes e produtos.
  • Reação por mol de \mathrm{C}: \mathrm{C}(\text{a }473{,}15\\ \text{K})+\mathrm{O}_2(\text{a }723{,}15\\ \text{K})\to\mathrm{CO}_2(\text{a }1500{,}15\\ \text{K}).
  • Energia química liberada à 298\\ \text{K} por mol de C é 94{,}054\\ \text{kcal/mol}=94{,}054\cdot10^{3}\\ \text{cal/mol}.
  • Além disso somam-se/subtraem-se as variações de entalpia sensível dos reagentes e produtos entre 298\\ \text{K} e suas temperaturas reais, usando as fórmulas dadas. Vamos calcular cada termo (H_T-H_{298}) nas temperaturas necessárias (em cal/mol).

Passo 5

Calcular (H_T-H_{298}) para cada espécie nas temperaturas dadas (valores numéricos; todas as contas em \text{cal/mol}).
  • Para \mathrm{CO}_2 a 1500{,}15\\ \text{K} (usar aproximadamente 1500{,}15\approx1500{,}15\\ \text{K}):
\left(H_{1500}-H_{298}\right)_{CO_2}=10{,}57T+1{,}05\cdot10^{-3}T^2+\frac{2{,}06\cdot10^{5}}{T}-3936 \approx 14\,420{,}9\\ \text{cal/mol}.
  • Para \mathrm{O}_2 a 723{,}15\\ \text{K}:
\left(H_{723}-H_{298}\right)_{O_2}=7{,}16T+0{,}5\cdot10^{-3}T^2+\frac{0{,}4\cdot10^{5}}{T}-2313 \approx 3\,181{,}56\\ \text{cal/mol}.
  • Para \mathrm{C} a 473{,}15\\ \text{K}:
\left(H_{473}-H_{298}\right)_{C}=4{,}03T+0{,}57\cdot10^{-3}T^2+\frac{2{,}04\cdot10^{5}}{T}-1936 \approx 529{,}58\\ \text{cal/mol}.
  • Para \mathrm{N}_2 a 723{,}15\\ \text{K}:
\left(H_{723}-H_{298}\right)_{N_2}=6{,}83T+0{,}45\cdot10^{-3}T^2+\frac{0{,}12\cdot10^{5}}{T}-2117 \approx 3\,074{,}04\\ \text{cal/mol}.
  • Para \mathrm{N}_2 a 1500{,}15\\ \text{K}:
\left(H_{1500}-H_{298}\right)_{N_2}\approx 9\,149{,}73\\ \text{cal/mol}.
(Observação: nos cálculos acima foram aplicadas diretamente as fórmulas fornecidas e avaliadas numericamente; arredondei cada valor a 2 casas decimais para clareza.)

Passo 6

Determinar a energia líquida disponível por mol de \mathrm{C} para aquecer o ferro e suprir perdas.
  • Primeiro, compor o saldo sensível entre produtos e reagentes (excluindo N_2 que é só arrastado pelo ar):
\Delta H_{\text{sensible(prod-react)}}= \left(H_{1500}-H_{298}\right)_{CO_2} - \left(H_{473}-H_{298}\right)_{C} - \left(H_{723}-H_{298}\right)_{O_2}.
Numericamente:
\Delta H_{\text{sensible(prod-react)}}\approx 14\,420{,}88 - 529{,}58 - 3\,181{,}56 = 10\,709{,}74\\ \text{cal/mol}.
  • Energia química (combustão) disponível por mol de C (em cal/mol) é:
94{,}054\\ \text{kcal/mol}=94\,054\\ \text{cal/mol}.
  • Soma energia química + variação sensível entre produtos/reagentes:
Q_{\text{bruto por mol C}}=94\,054 + 10\,709{,}74 = 104\,763{,}74\\ \text{cal/mol}.
  • Agora subtrair o calor gasto em aquecer o nitrogênio do ar (N2 acompanha o O2 estequiométrico e é aquecido de 723{,}15\\ \text{K} para 1500{,}15\\ \text{K}). Número de mols de \mathrm{N}_2 por mol de \mathrm{O}_2 (e por mol de C, já que 1 mol C consome 1 mol O2) é 79/21\approx3{,}76190476.
    • Variação molar de entalpia do \mathrm{N}_2:
    \Delta H_{N_2}=\left(H_{1500}-H_{298}\right)_{N_2}-\left(H_{723}-H_{298}\right)_{N_2} \approx 9\,149{,}73-3\,074{,}04=6\,075{,}69\\ \text{cal/mol}.
    • Calor total gasto aquecendo \mathrm{N}_2 por mol de C:
    Q_{N_2\\ \text{por mol C}}=\Delta H_{N_2}\cdot\frac{79}{21} \approx 6\,075{,}69\cdot3{,}76190476 \approx 22\,856{,}13\\ \text{cal/mol}.
  • Finalmente, energia útil por mol de C disponível para aquecer o ferro e cobrir perdas:
Q_{\text{útil por mol C}}=Q_{\text{bruto por mol C}}-Q_{N_2} \approx 104\,763{,}74 - 22\,856{,}13 = 81\,907{,}61\\ \text{cal/mol}.ú
Em \text{kcal/mol}:
Q_{\text{útil por mol C}}\approx 81{,}9076\\ \text{kcal/mol}.ú
(Interpretação: cada mol de carbono queimado, nas condições dadas, fornece \approx81{,}9\\ \text{kcal} efetivamente utilizável para o aquecimento do ferro e perdas.)

Passo 7

Calcular o número de mols de carbono necessário e então a massa de carvão.
  • Mols de C necessários:
n_C=\dfrac{Q_{\text{necessário}}}{Q_{\text{útil por mol C}}} =\dfrac{387\,132{,}3\\ \text{kcal}}{81{,}9076\\ \text{kcal/mol}} \approx 4\,726{,}46\\ \text{mol}.áú
  • Massa de carbono ( \mathrm{MM}_C=12\\ \text{g/mol}):
m_C = n_C\cdot12\\ \text{g/mol}\approx 4\,726{,}46\cdot12=56\,717{,}5\\ \text{g}=56{,}72\\ \text{kg}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas significativas para kg): m_C\approx56{,}7\\ \text{kg} de carbono por tonelada de ferro.

Passo 8

Verificação rápida de consistência e comentário didático final:
  • Ordem de grandeza faz sentido: aquecer 1 t de ferro até temperaturas muito altas exige centenas de milhares de kcal; combustão do carbono libera ~94 kcal/mol antes de contabilizar sensíveis e N2, e após contabilizar perdas com N2 fica ~82 kcal/mol; portanto alguns milhares de mols são esperados, resultando em poucas dezenas de kg de carbono — valor razoável.
  • Observações práticas: aqui considerei carbono puro; se fosse carvão com impurezas (cinzas, voláteis), o consumo real de carvão seria maior. Também tratei gases como ideais e usei as funções de entalpia fornecidas diretamente.

Resposta

m_C \approx 56{,}7\\ \text{kg de carbono por tonelada de ferro}

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