Calcule o trabalho máximo que se pode obter, istermicamente, de um gás ideal que está sob pressão de 4 atm a 200^{\circ} \mathrm{C}, ocupando um volume igual a 5 L , e que se expande até atingir uma pressão igual a 1 atm . resposta: 668cal

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Pressão inicial: p_{1}=4\\ \text{atm}.
  • Temperatura: 200^\circ\mathrm{C}. (Vamos converter para Kelvin mais abaixo.)
  • Volume inicial: V_{1}=5\\ \text{L}.
  • Pressão final: p_{2}=1\\ \text{atm}.
  • Pedido: calcular o trabalho máximo que se pode obter, em um processo isoterma, dessa transformação.
Essas são todas as informações relevantes do enunciado. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Conceito necessário (explicado passo a passo): quando dizemos “trabalho máximo” numa expansão isotérmica de gás ideal, isso equivale ao trabalho realizado num processo reversível (porque o processo reversível extrai a maior quantidade de trabalho entre todos os processos isotermais entre os mesmos estados). Para um gás ideal submetido a uma expansão isotérmica e reversível, o diferencial de trabalho realizado pelo gás é
\delta W = p\,dV,
onde p é a pressão do gás. Como o processo é reversível, a pressão externa iguala a pressão do gás: p=\dfrac{nRT}{V}. Assim o trabalho total realizado ao expandir de V_{1} a V_{2} é a integral
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,dV = \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{nRT}{V}\,dV.
Integramos: a integral de 1/V é \ln V, então obtemos a fórmula padrão
W = nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Aqui:
  • W é o trabalho realizado pelo gás (energia extraída),
  • n é o número de mols do gás,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta (Kelvin),
  • V_{1} e V_{2} são volumes inicial e final.

Passo 3

Vamos relacionar V_{2} com os dados que temos. Como a transformação é isotérmica e o gás é ideal, temos pV= constante, logo
p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}.
Daí
V_{2}=\frac{p_{1}}{p_{2}}V_{1}.
Substituindo os valores dados:
V_{2}=\frac{4\\ \text{atm}}{1\\ \text{atm}}\cdot 5\\ \text{L}=20\\ \text{L}.
Logo a razão de volumes é
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{20}{5}=4.

Passo 4

Reescrevemos W usando nRT=p_{1}V_{1} (porque numa isoterma nRT é igual a pV em qualquer instante). Assim
W = nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=p_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Substituindo p_{1}V_{1}=4\\ \text{atm}\times 5\\ \text{L}=20\\ \text{L}\cdot\text{atm} e \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=4, obtemos
W = 20\\ \text{L}\cdot\text{atm}\times \ln(4).
Calculemos \ln(4):
\ln(4)\approx 1,386294.
Logo, em unidades de \text{L}\cdot\text{atm},
W \approx 20\times 1,386294=27,72588\\ \text{L}\cdot\text{atm}.

Passo 5

Agora convertemos para unidades de energia usuais (joules e depois calorias). Usamos as constantes:
1\\ \text{L}\cdot\text{atm}=101{,}325\\ \text{J},\qquad 1\\ \text{cal}=4{,}184\\ \text{J}.
Primeiro para joules:
W\approx 27{,}72588\\ \text{L}\cdot\text{atm}\times 101{,}325\\ \frac{\text{J}}{\text{L}\cdot\text{atm}} \approx 2\,809{,}33\\ \text{J}.
Em seguida para calorias:
W\approx \frac{2\,809{,}33\\ \text{J}}{4{,}184\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}}} \approx 671{,}6\\ \text{cal}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: o valor calculado para o trabalho máximo extraível isoterma e reversivelmente é aproximadamente 6,72\times10^{2}\\ \text{cal}. Pequenas diferenças em relação a valores tabelados (por exemplo 668\\ \text{cal}) vêm do uso de constantes com menos ou mais casas decimais (arredondamentos em R, em 1\\ \text{L}\cdot\text{atm} ou em 1\\ \text{cal}). O procedimento e a fórmula são os que importam para a prova; o resultado numérico final, com as constantes mostradas, é o abaixo.

Resposta

672\\ \text{cal}

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