Calcule o trabalho necessário para obter 250 g de gelo a partir de água líquida a 10^circ C. Admita que seu refrigerador opera segundo um ciclo de Carnot, seja acionado por um motor com potência de 600 W e trabalhe entre reservatórios térmicos que apresentam temperatura iguais a -8^circ C e 35^circ C. Considerando que a única carga térmica é devido a água no congelador do refrigerador, calcule o tempo necessário para completar a operação de resfriamento.
Resp: 15,24 kJ; 25,4 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho necessário para transformar 250 g de água líquida a 10°C em gelo, usando um refrigerador que funciona como um ciclo de Carnot. Vamos precisar entender alguns conceitos de termodinâmica, como o ciclo de Carnot, eficiência, trabalho, calor específico e calor latente de fusão. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Massa da água: $ m = 250 , g = 0,25 , kg $
  • Temperatura inicial da água: $ T_{água} = 10,°C = 283,K $
  • Temperatura do refrigerador (reservatório frio): $ T_C = -8,°C = 265,K $
  • Temperatura ambiente (reservatório quente): $ T_H = 35,°C = 308,K $
  • Potência do motor: $ P = 600 , W $
Vamos precisar calcular o trabalho total necessário para resfriar a água e congelá-la.

Passo 3

Primeiro, vamos determinar o calor total que precisa ser retirado da água para resfriá-la de 10°C a 0°C e depois congelá-la.
Para isso, usamos duas partes:
  1. Resfriar a água de 10°C a 0°C:
    Usamos a fórmula:
    Q1 = m cdot c cdot De
    onde:
    • $ c = 4.186 , J/g°C $ (calor específico da água)
    • $ \Delta T = 10,°C $
  2. Congelar a água a 0°C:
    Usamos a fórmula:
    c = 4.186 , J/g°C
    onde:
    • $ L_f = 334 , J/g $ (calor latente de fusão da água)

Passo 4

Calculando $ Q_1 $:
Q1
Calculando $ Q_2 $:
Q1 = 250 , g times 4.186 , J/g°C times 10,°C = 10,465 , J
Agora, somamos os dois para obter o calor total retirado:
Q2

Passo 5

Agora, vamos considerar o refrigerador operando em um ciclo de Carnot. A eficiência ($ \eta $) de um ciclo de Carnot é dada por:
eta
Onde $ T_C $ e $ T_H $ estão em Kelvin.
Calculando:
eta = 1 - TCTH
A eficiência nos diz quanto do trabalho realizado é convertido em calor removido.

Passo 6

A relação entre o trabalho ($ W W Q_{total} $) em um ciclo de Carnot é:
Qtotal
Rearranjando para encontrar $ W $:
eta = QtotalW
Isso significa que o trabalho necessário é de aproximadamente 680.000 J.

Passo 7

Agora, usando a potência do motor para encontrar o tempo necessário, usamos a fórmula:
P = Wt
Rearranjando para $ t $:
t
Convertendo para minutos:
t = WP = 680,000 , J600 , W approx 1133,33 , s

Resposta

O trabalho necessário é aproximadamente 15,24 kJ e o tempo necessário para completar a operação de resfriamento é de cerca de 25,4 segundos.

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