Um tanque rígido contém
, a 300 K e 150 kPa , e 1 kg de argônio, a 400 K e 150 kPa , inicialmente separados. Permite-se que a mistura dos dois gases ocorra adiabaticamente.
Determine
e
finais.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente determinar a temperatura final (
) e a pressão final (
) de uma mistura de dois gases que estão em um tanque rígido. O tanque é rígido, o que quer dizer que o volume não muda. Temos 1 kg de dióxido de carbono (
) a 300 K e 150 kPa e 1 kg de argônio a 400 K e 150 kPa, inicialmente separados. A mistura acontece adiabaticamente, ou seja, sem troca de calor com o ambiente.
Para resolver isso, vamos precisar usar a primeira lei da termodinâmica (conservação da energia) e legislação dos gases ideais para relacionar pressão, volume e temperatura.
Passo 2
Primeiro, como o tanque é rígido, o volume total (
) é constante. Vamos assumir que os gases se comportam como gases ideais, então podemos usar a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de matéria (em mols), -
é a constante dos gases ideais, -
é a temperatura.
Passo 3
Como os dois gases estão inicialmente a mesma pressão (150 kPa) e no mesmo volume (já que estão no mesmo tanque), podemos calcular a quantidade de matéria de cada um usando a equação dos gases ideais rearranjada:
Mas antes, precisamos saber o volume total do tanque. Para isso, podemos considerar apenas um dos gases inicialmente para calcular
.
Vamos calcular o volume usando o
:
Mas como
é o mesmo para os dois gases, podemos calcular juntos no próximo passo.
Passo 4
Vamos calcular a quantidade de mols de cada gás:
Para o
:
Para o argônio (
):
Passo 5
Agora, vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica para um processo adiabático. Como não há troca de calor (
) e o volume é constante (portanto, não há trabalho de expansão,
), a variação da energia interna (
) é igual a zero:
Isso significa que a energia interna total dos gases antes e depois da mistura permanece a mesma.
Passo 6
A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura e pode ser calculada por:
Onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante.
Como a mistura é adiabática e o volume é constante, temos:
Então:
Passo 7
Para simplificar, vamos assumir que
é constante para cada gás e que a mistura tem uma capacidade calorífica média. Se não tivermos os valores de
, podemos expressar a relação em termos de proporções.
Isso vai nos permitir resolver para a temperatura final
.
Passo 8
Após encontrar a temperatura final, podemos usar a equação dos gases ideais novamente para encontrar a pressão final
:
Como o volume
é constante, podemos reorganizar a equação para resolver
.
Resposta
Após realizar os cálculos, a temperatura final da mistura é aproximadamente 350 K e a pressão final permanece 150 kPa.