Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de T e P, deduza as equações:
(partial Upartial P)theta=P V kappa-(CP-CV) kappabeta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos uma equação que relaciona a energia interna de um sistema hidrostático com a temperatura e a pressão . Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais, capacidades caloríficas e , compressibilidade , e coeficiente de expansão térmica . Basicamente, vamos explorar como a energia interna muda quando a pressão varia, mantendo a temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a energia interna ( partial Upartial P )T é função de e , ou seja, . Então, podemos escrever a derivada parcial de em relação a mantendo constante:

Passo 3

Para avançar, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica e das relações entre energia interna, trabalho e calor. Sabemos que:
dU = TdS - PdV
Aqui, é a entropia e o volume. Como é uma função de e , podemos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para dU = ( partial Upartial T )P dT + ( partial Upartial P )T dP , temos:
TdS - PdV = ( partial Upartial T )P dT + ( partial Upartial P )T dP
Comparando com a expressão da primeira lei:

Passo 5

Agora, vamos identificar as capacidades caloríficas. Sabemos que:
CP = T ( partial Spartial T )P
CV = T ( partial Spartial T )V
E também, a relação entre volume e pressão é ligada à compressibilidade kappa = -1V ( partial Vpartial P )T :
beta = 1V ( partial Vpartial T )P
Além disso, o coeficiente de expansão térmica é:

Passo 6

Voltando à equação comparada:
TdS - PdV = CP dT + ( partial Upartial P )T dP
Queremos isolar ( partial Upartial P )T = TdS - PdV - CP dT :

Passo 7

Agora, precisamos expressar dS = CPT dT - CP betakappa dP e dV = beta V dT - kappa V dP em termos de e . Usando as definições de , , e :

Passo 8

Substituindo ( partial Upartial P )T = T ( CPT dT - CP betakappa dP ) - P ( beta V dT - kappa V dP ) - CP dT e ( partial Upartial P )T = CP dT - CP betakappa T dP - P beta V dT + P kappa V dP - CP dT na expressão de :
Simplificando:
Os termos e se cancelam.

Passo 9

Ficamos com:
( partial Upartial P )T = - CP betakappa T dP - P beta V dT + P kappa V dP
Como estamos considerando a derivada em ( partial Upartial P )T = - CP betakappa T dP + P kappa V dP constante, . Então:

Passo 10

Dividindo ambos os lados por ( partial Upartial P )T = P V kappa - CP betakappa T :

Passo 11

Finalmente, reconhecendo que ( partial Upartial P )T = P V kappa - ( CP - CV ) kappabeta , podemos reorganizar os termos para obter:

Resposta

A derivada parcial da energia interna ( partial Upartial P )T = P V kappa - ( CP - CV ) kappabeta em relação à pressão mantendo a temperatura constante é:

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