Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de T e P, deduza as equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos uma equação que relaciona a energia interna
de um sistema hidrostático com a temperatura
e a pressão
. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como derivadas parciais, capacidades caloríficas
e
, compressibilidade
, e coeficiente de expansão térmica
. Basicamente, vamos explorar como a energia interna muda quando a pressão varia, mantendo a temperatura constante.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a energia interna
é função de
e
, ou seja,
. Então, podemos escrever a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante:
Passo 3
Para avançar, vamos lembrar da primeira lei da termodinâmica e das relações entre energia interna, trabalho e calor. Sabemos que:
Aqui,
é a entropia e
o volume. Como
é uma função de
e
, podemos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
, temos:
Comparando com a expressão da primeira lei:
Passo 5
Agora, vamos identificar as capacidades caloríficas. Sabemos que:
E também, a relação entre volume e pressão é ligada à compressibilidade
:
Além disso, o coeficiente de expansão térmica
é:
Passo 6
Voltando à equação comparada:
Queremos isolar
:
Passo 7
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
e
. Usando as definições de
,
,
e
:
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam.
Passo 9
Ficamos com:
Como estamos considerando a derivada em
constante,
. Então:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Finalmente, reconhecendo que
, podemos reorganizar os termos para obter:
Resposta
A derivada parcial da energia interna
em relação à pressão
mantendo a temperatura constante é: