Calcule a transformada de Fourier para as seguintes funções: f(t)=t, se -1 e 0 , nos demais casos

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a transformada de Fourier da função f(t) = t, & se -1 < t < 1 0, & caso contrário , onde:
á
Vamos utilizar os conceitos de transformada de Fourier, que nos permite transformar uma função do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, precisamos aplicar a definição da transformada de Fourier para funções contínuas.

Passo 2

A definição da transformada de Fourier para uma função F(omega) = integral-infty^infty f(t) e^-i omega t , dt é:
F(omega) = integral-1^1 t e^-i omega t , dt
No nosso caso, como é diferente de zero apenas entre -1 e 1, os limites da integral podem ser ajustados para esse intervalo:

Passo 3

Vamos resolver a integral u = t Rightarrow du = dt . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
dv = e^-i omega t , dt Rightarrow v = e^-i omega t-i omega
F(omega) = t cdot e^-i omega t-i omega |-1^1 - integral-1^1 e^-i omega t-i omega , dt
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 4

Vamos calcular os termos:
t cdot e^-i omega t-i omega |-1^1 = 1 cdot e^-i omega-i omega - (-1) cdot e^i omega-i omega = -e^-i omega + e^i omega-i omega
Simplificando:
e^i omega - e^-i omegai omega
Sabemos que 2i sin(omega)i omega = 2 sin(omega)omega , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral:
- integral-1^1 e^-i omega t-i omega , dt = 1i omega integral-1^1 e^-i omega t , dt
Integrando:
1i omega e^-i omega t-i omega |-1^1 = 1i omega ( e^-i omega - e^i omega-i omega ) = e^-i omega - e^i omega(i omega)^2
Lembrando que e^-i omega - e^i omega-omega^2 = 2i sin(omega)-omega^2 = -2i sin(omega)omega^2 :

Passo 6

Agora, juntando os dois resultados:
F(omega) = 2 sin(omega)omega - 2i sin(omega)omega^2
Podemos fatorar F(omega) = 2 sin(omega) ( 1omega - iomega^2 ) para simplificar:

Resposta

A transformada de Fourier da função F(omega) = 2 sin(omega) ( 1omega - iomega^2 ) é:

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