Calcule a variação de entropia associada a evaporação de uma massa de 1 kg de líquido saturado na pressão atmosférica de duas formas.
Utilizando a equação:
\Delta S=\int_{1}^{2} \frac{\delta Q_{\{\mathrm{rev}\}}}{T}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação de entropia associada à evaporação de uma massa de 1\\ \mathrm{kg} de líquido saturado à pressão atmosférica, usando a equação
\Delta S=\int_{1}^{2}\frac{\delta Q_{\{\mathrm{rev}\}}}{T}.
Informações dadas (explicitadas):
  • massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • processo: evaporação (liquid → vapor) à pressão atmosférica (assuma p=1\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{Pa}).
  • equação a usar: \Delta S=\int_{1}^{2}\frac{\delta Q_{\{\mathrm{rev}\}}}{T}.
    O enunciado pede que eu faça o cálculo de duas formas (ou seja, apresentar dois métodos) e chegue à variação de entropia total associada à vaporização dessa massa.

Passo 2

Conceito e interpretação da fórmula usada — uma mini-aula prática:
  • Entropia é uma grandeza de estado que mede, entre outras interpretações, a dispersão de energia. A variação de entropia entre dois estados é dada pela integral da quantidade de calor reversível dividida pela temperatura ao longo de um processo reversível:
\Delta S=\int_{1}^{2}\frac{\delta Q_{\{\mathrm{rev}\}}}{T}.
  • Na fórmula: \Delta S é a variação de entropia (unidade SI \mathrm{J/K}), \delta Q_{\{\mathrm{rev}\}} é um elemento infinitesimal de calor trocado de forma reversível (unidade \mathrm{J}) e T é a temperatura absoluta do sistema no instante do intercâmbio de calor (unidade \mathrm{K}).
  • Para uma vaporização saturada sob pressão constante, o processo ocorre a temperatura constante igual à temperatura de saturação T_{\mathrm{sat}} correspondente àquela pressão. Isso simplifica a integral porque T é constante durante a mudança de fase.

Passo 3

Observação física do processo (por que dá para simplificar a integral):
  • Durante a vaporização saturada (liquido saturado → vapor saturado) à pressão constante p=1\\ \mathrm{atm}, a temperatura do sistema permanece em T_{\mathrm{sat}}. Portanto, a integral vira
\Delta S=\frac{Q_{\mathrm{rev}}}{T_{\mathrm{sat}}}
onde Q_{\mathrm{rev}} é o calor reversível total absorvido pelo fluido para vaporizar a massa m. Para vaporização completa Q_{\mathrm{rev}}=m\cdot h_{fg}, sendo h_{fg} o calor latente (entalpia de vaporização específica).
  • Outra forma direta: como entropia é função de estado, podemos usar entropias específicas do vapor e do líquido saturado:
\Delta S = m\,(s_{g}-s_{f}),
onde s_{f} é a entropia específica do líquido saturado e s_{g} a entropia específica do vapor saturado, ambos avaliados à pressão (ou temperatura) de saturação.

Passo 4

Dados numéricos a usar (retirados das tabelas de vapor saturado para água à p=1\\ \mathrm{atm}):
  • temperatura de saturação: T_{\mathrm{sat}}=373{,}15\\ \mathrm{K} (ou 100^\circ\mathrm{C});
  • entalpia de vaporização específica: h_{fg}=2257\\ \mathrm{kJ/kg} (valor tabelado aproximado);
  • entropia específica do líquido saturado: s_{f}=1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor tabelado aproximado);
  • entropia específica do vapor saturado: s_{g}=7{,}356\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor tabelado aproximado).
    Nota: eu peguei estes dados nas tabelas de vapor saturado (steam tables) para água à pressão atmosférica. Se o seu problema usar outro líquido, substitua pelos valores correspondentes.

Passo 5

Método 1 — usando a diferença de entropias específicas:
  • Fórmula:
\Delta S = m\,(s_{g}-s_{f}).
  • Substituindo m=1\\ \mathrm{kg}, s_{g}=7{,}356\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e s_{f}=1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:
\Delta S = 1\cdot\bigl(7{,}356-1{,}307\bigr)\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Calcule a diferença dentro do parêntese:
7{,}356-1{,}307=6{,}049\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Como a massa é 1\\ \mathrm{kg}, a variação de entropia total é
\Delta S=6{,}049\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Converter para joules por kelvin (unidade SI): 1\\ \mathrm{kJ}=1000\\ \mathrm{J}, então
\Delta S=6{,}049\times 10^{3}\\ \mathrm{J/K}=6{,}049\\ \mathrm{J/K}.
(Arredondando com algar significantes razoáveis fica \Delta S\approx6{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{J/K}.)

Passo 6

Método 2 — integrando \delta Q_{\{\mathrm{rev}\}}/T e usando o calor latente:
  • Como discutimos, o processo é isoterma a T_{\mathrm{sat}}, então
\Delta S=\frac{Q_{\mathrm{rev}}}{T_{\mathrm{sat}}}.
  • Para vaporização completa de massa m, o calor reversível é o calor latente total:
Q_{\mathrm{rev}}=m\cdot h_{fg}.
  • Substituindo:
\Delta S=\frac{m\cdot h_{fg}}{T_{\mathrm{sat}}}.
  • Agora substituímos os números (atenção às unidades): usar h_{fg}=2257\\ \mathrm{kJ/kg} e T_{\mathrm{sat}}=373{,}15\\ \mathrm{K}. Primeiro escrevo h_{fg} em \mathrm{kJ/kg} e o resultado será \mathrm{kJ/K}:
\Delta S = \frac{1\cdot 2257\\ \mathrm{kJ/kg}}{373{,}15\\ \mathrm{K}}.
  • Faça a divisão:
\Delta S = \frac{2257}{373{,}15}\\ \mathrm{kJ/K}\approx 6{,}049\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Converter para joules por kelvin:
\Delta S\approx 6{,}049\times10^{3}\\ \mathrm{J/K}=6{,}049\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

Comparação entre os dois métodos e comentário:
  • Os dois métodos dão o mesmo valor (dentro dos arredondamentos), como deve ocorrer, pois são formas equivalentes de calcular a variação de entropia entre estado líquido saturado e vapor saturado.
  • Resultado numérico prático (arredondado): \Delta S\approx 6{,}05\times10^{3}\\ \mathrm{J/K} para m=1\\ \mathrm{kg} de água vaporizando à pressão atmosférica.
  • Observação final: se você usar valores mais precisos das tabelas de vapor (com mais casas decimais) obterá o mesmo resultado com pequena diferença numérica devido ao arredondamento.

Resposta

\Delta S \approx 6{,}049\\ \mathrm{kJ/K} = 6{,}049\times10^{3}\\ \mathrm{J/K} (pela diferença m(s_{g}-s_{f}))
\Delta S \approx 6{,}049\\ \mathrm{kJ/K} = 6{,}049\times10^{3}\\ \mathrm{J/K} (pela integral \displaystyle \frac{m h_{fg}}{T_{\mathrm{sat}}})

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