O processo de geração de potência em um motor de combustão interna a gasolina, que é realizado pelos gases de combustão a alta temperatura e pressão, pode ser modelado como a expansão adiabática e reversível do ar no ciclo Otto ideal. O processo se inicia no Estado 3 (ponto de maior temperatura e pressão) e se encerra no Estado 4 (fim da expansão). Se a razão de compressão desse motor for r=8 (ou seja, V_{4} / V_{3}=8 ), determine a temperatura do ar no final da expansão ( T_{4} ) se as condições iniciais (Estado 3) forem T_{3}=1700 \mathrm{~K} e P_{3}=8 \mathrm{MPa}, considerando:
Calores específicos do ar como constantes, usando as propriedades avaliadas a uma temperatura de referência de 1000 K .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a temperatura do ar no final da expansão (Estado 4) para uma expansão adiabática e reversível que vai do Estado 3 ao Estado 4. Dados fornecidos:
  • razão de volumes r = \dfrac{V_{4}}{V_{3}} = 8,
  • temperatura no Estado 3: T_{3}=1700\\ \mathrm{K},
  • pressão no Estado 3: P_{3}=8\\ \mathrm{MPa} (dado fornecido, anotado, mas não será necessário na fórmula final),
  • instrução: usar calores específicos do ar como constantes avaliados à temperatura de referência de 1000\\ \mathrm{K}.
Relembre: precisamos apenas do valor de \gamma (razão dos calores específicos) e da relação de processo adiabático reversível para relacionar T_{4} e T_{3}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para um gás ideal com calores específicos constantes, um processo adiabático e reversível (isentrópico) obedece à relação
T V^{\gamma-1}=\text{constante},
onde \gamma é a razão dos calores específicos e cada símbolo significa:
  • T: temperatura absoluta (em K),
  • V: volume específico (ou volume por massa),
  • \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}, onde c_p é o calor específico a pressão constante e c_v é o calor específico a volume constante.
  • A partir dessa relação, ao comparar dois estados 3 e 4 do mesmo processo:
\frac{T_{4}}{T_{3}}=\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1}.
Note que \dfrac{V_{3}}{V_{4}} = \dfrac{1}{r}. Então
T_{4}=T_{3}\,r^{-(\gamma-1)}.
Explicando em palavras: se o volume aumenta (expansão, V_4>V_3), a temperatura cai; o quanto cai depende de \gamma.

Passo 3

Escolher os valores de propriedades (seguindo a instrução do enunciado: avaliar propriedades a 1000\\ \mathrm{K}):
  • Para o ar à 1000\\ \mathrm{K} (valores tabulados):
    • c_p \approx 1{,}151\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}},
    • a constante dos gases para o ar é R \approx 0{,}287\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}.
(Comentário amistoso: esses valores vêm de tabelas de propriedades do ar; o enunciado pediu para usar as propriedades avaliadas a 1000\\ \mathrm{K}, por isso escolhemos esses números.)

Passo 4

Calcular c_v e \gamma:
  • Lembrando que c_p - c_v = R. Logo
c_v = c_p - R = 1{,}151 - 0{,}287 = 0{,}864\\ \mathrm{kJ\;kg^{-1}\;K^{-1}}.
  • Agora \gamma é
\gamma = \frac{c_p}{c_v} = \frac{1{,}151}{0{,}864} \approx 1{,}333.
Vou explicar: \gamma indica “quantos vezes” c_p é maior que c_v. Para gases diatômicos como o ar, em temperaturas altas \gamma fica próximo a 1{,}3 1{,}4; o cálculo acima dá \approx 1{,}333.

Passo 5

Calcular o expoente \gamma-1:
\gamma - 1 \approx 1{,}333 - 1 = 0{,}333.
Curiosidade rápida: se \gamma=4/3 exatamente, então \gamma-1=1/3 e r^{-(\gamma-1)}=r^{-1/3}. Com r=8, 8^{-1/3}=1/2. Nossa \gamma calculada está bem próxima de 4/3, então vamos ver o efeito numérico.

Passo 6

Aplicar a fórmula para T_{4}:
T_{4}=T_{3}\,r^{-(\gamma-1)}.
Substituindo valores:
T_{4}=1700\cdot 8^{-0{,}333}.
Fazendo a conta (mostrando opção via logaritmo/exponenciais):
8^{-0{,}333}=\mathrm{e}^{-0{,}333\ln 8}\quad\text{com}\quad \ln 8 \approx 2{,}07944,
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-0{,}333\ln 8 \approx -0{,}6925,
e
8^{-0{,}333}\approx \mathrm{e}^{-0{,}6925}\approx 0{,}5003.
Multiplicando:
T_{4}\approx 1700\times 0{,}5003 \approx 850{,}5\\ \mathrm{K}.
Como vimos na curiosidade, o valor fica praticamente a metade de T_{3} por causa de r=8 e \gamma próximo de 4/3.

Passo 7

Interpretação final e arredondamento:
  • Resultado numérico obtido: T_{4}\approx 850{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Para apresentação na prova, podemos arredondar para um número com três algarismos significativos: T_{4}\approx 850\\ \mathrm{K}.
  • Observação prática: o dado de pressão P_{3} não era necessário aqui porque, para um gás ideal em processo isentrópico com calores específicos constantes, a relação entre temperaturas depende apenas da razão de volumes e de \gamma.

Resposta

T_{4}\approx 850\\ \mathrm{K}

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