Calcule a variação de entropia quando o volume de 2,00 mols de um gás ideal aumenta de 5,0 \mathrm{~L} para 10,0 \mathrm{~L} enquanto a temperatura sobe de 100 K para 300 K . Dado: \mathrm{C}_{p, \mathrm{~m}}(\text { gás })=20,786 \mathrm{~J} / \mathrm{K}á mol (\mathbf{R}: \Delta \mathbf{S} =+38,930 \mathrm{~J} / \mathrm{K})

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal com n=2,00 mol que passa de V_{1}=5,0 L e T_{1}=100 K para V_{2}=10,0 L e T_{2}=300 K, e pede a variação de entropia \Delta S. O conteúdo envolve entropia de gás ideal, que é uma função de estado, e podemos usar um caminho reversível composto por aquecimento a volume constante e depois expansão isotérmica.

Passo 2

Para um gás ideal, a mudança de entropia ao ir de (T_{1},V_{1}) a (T_{2},V_{2}) por um caminho reversível é
\Delta S = \int_{T_{1}}^{T_{2}} n\,C_{V,m}\,\frac{dT}{T} \;+\; \int_{V_{1}}^{V_{2}} n\,R\,\frac{dV}{V}
que se integra para
\Delta S = n\,C_{V,m}\,\ln\!\biggl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\biggr) + n\,R\,\ln\!\biggl(\frac{V_{2}}{V_{1}}\biggr).

Passo 3

Precisamos de C_{V,m}, e sabemos que
C_{p,m} - C_{V,m} = R.
Como foi dado C_{p,m}=20,786 J/( K\cdot mol) e R=8,314 J/( K\cdot mol), temos
C_{V,m} = 20,786 - 8,314 = 12,472\\ \mathrm{J/(K\cdot mol)}.

Passo 4

Agora substituímos na expressão de \Delta S:
\Delta S = 2,00\times12,472\;\ln\!\bigl(\tfrac{300}{100}\bigr) \;+\;2,00\times8,314\;\ln\!\bigl(\tfrac{10,0}{5,0}\bigr).
Calculando os dois termos:
2,00\cdot12,472\cdot\ln(3)\approx 24,944\cdot1,0986\approx27,39\\ \mathrm{J/K},
2,00\cdot8,314\cdot\ln(2)\approx16,628\cdot0,6931\approx11,54\\ \mathrm{J/K}.
Somando,
\Delta S \approx 27,39 + 11,54 = 38,93\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

A variação de entropia é \displaystyle \Delta S = +38,93\\ \mathrm{J/K}.

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