A temperatura de 1,00 \mathrm{~mol} de He(g) aumenta de 25^{\circ} \mathrm{C} até 300^{\circ} \mathrm{C} em volume constante. Qual é a variação de entropia do hélio? Dado: C_{v, \mathrm{~m}}=\frac{3}{2} R \quad(\mathbf{R}: \Delta \mathbf{S}=+\mathbf{8 , 1 5 0} \mathrm{J} / \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado diz que aquecemos reversivelmente n=1{,}00 mol de hélio (gás monoatômico ideal) de 25^\circ\mathrm{C} até 300^\circ\mathrm{C} em volume constante. Queremos a variação de entropia \Delta S. Para isso precisamos da expressão de \Delta S em processo isotérmico e, como estamos em volume constante, usar \mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}=nC_{v}\,\mathrm{d}T e integrar \mathrm{d}S=\mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}/T.

Passo 2

Escrevendo a integral de definição de entropia em volume constante:
\Delta S \;=\;\int_{S_1}^{S_2}\mathrm{d}S \;=\;\int_{T_1}^{T_2}\frac{\mathrm{d}Q_{\mathrm{rev}}}{T} \;=\;\int_{T_1}^{T_2}\frac{n\,C_{v}\,\mathrm{d}T}{T} \;=\;n\,C_{v}\,\ln\frac{T_2}{T_1}\,.

Passo 3

Primeiro convertemos as temperaturas para kelvin:
T_1 = 25^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_2 = 300^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
O calor específico molar a volume constante é
C_{v,\mathrm{m}} = \tfrac{3}{2}R \quad\Longrightarrow\quad C_{v} = 1{,}00 \times \tfrac{3}{2}\,R = \tfrac{3}{2}\times 8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)} =12{,}471\;\mathrm{J/K}.
Agora o logaritmo:
\ln\frac{T_2}{T_1} =\ln\frac{573{,}15}{298{,}15} \approx 0{,}653.
Logo
\Delta S = n\,C_{v}\,\ln\frac{T_2}{T_1} =1{,}00\times 12{,}471\times 0{,}653 \approx 8{,}15\;\mathrm{J/K}.

Resposta

\displaystyle \Delta S = +8{,}15\;\mathrm{J/K}.

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