Calcule a variação de pressão durante a expansão isotérmica do dióxido de carbono de v1=0,0003 m^3 / mol para v2=0,0009 m^3 / mol à temperatura crítica. Aplique as equações de estado de van der Waals, Redlich-Kwong e Peng-Robinson e explique as diferenças entre os resultados obtidos por cada equação.
\
hline van der Waals Redlich-Kwong Peng-Robinson
hline Pressão 1
hline Pressão 2
hline \

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a variação de pressão ΔP numa expansão isotérmica de CO₂ a T=Tc, indo de v₁=0,0003 m³/mol até v₂=0,0009 m³/mol. A matéria aqui é “equações de estado para fluidos reais”: van der Waals, Redlich–Kwong e Peng–Robinson. Para resolver, vamos precisar:
  1. constantes críticas de CO₂ (Tc e Pc),
  2. a constante dos gases R,
  3. fórmulas de cada EOS (equação de estado),
  4. calcular parâmetros a e b de cada EOS,
  5. aplicar P(v) e achar P₁ e P₂, daí ΔP=P₂−P₁.

Passo 2

Primeiro, van der Waals. A teoria vdw corrige a ideal pra levar em conta atração (a) e volume finito das moléculas (b). As fórmulas dos parâmetros são
a = 27,R^2,Tc^264,Pc, b = R,Tc8,Pc
Para CO₂:
Tc = 304{,}2 K, Pc = 7{,}38×10^6 Pa, R=8{,}314 J/(mol·K).
Calculando:
arm vdw approx 27·(8,314)^2·(304,2)^264·7,38·10^6 approx 0,366;rm Pa,m^6/mol^2,
brm vdw approx 8,314·304,28·7,38·10^6 approx 4,29×10^-5;rm m^3/mol

Passo 3

Agora achamos P₁ e P₂ com
P = RTv - b ;-;av^2
Para v₁=0{,}0003 m³/mol:
P1^rm vdw = 8,314·304,20,0003 - 4,29·10^-5 - 0,366(0,0003)^2 approx 5,78;rm MPa
Para v₂=0{,}0009 m³/mol:
P2^rm vdw = 8,314·304,20,0009 - 4,29·10^-5 - 0,366(0,0009)^2 approx 2,50;rm MPa
Logo ΔP^{vdw}=P₂−P₁≈2{,}50−5{,}78=−3{,}28 MPa.

Passo 4

Redlich–Kwong introduz dependência de T no termo atrativo. Os parâmetros são
arm RK = 0,42748,R^2,Tc^2Pc, brm RK = 0,08664,R,TcPc
Calculando dá
a_{\rm RK}≈0{,}371 Pa m⁶/mol²,
b_{\rm RK}≈2,97×10^{-5} m³/mol.

Passo 5

A EOS RK é
P = RTv - b ;-; araizT;v,(v + b)
Em T=Tc=304{,}2 K (√T≈17,44):
Para v₁=0{,}0003:
P1^rm RK approx 9,36 - 0,215 = 9,15;rm MPa,
Para v₂=0{,}0009:
P2^rm RK approx 2,91 - 0,025 = 2,88;rm MPa
Então ΔP^{RK}≈2{,}88−9{,}15=−6{,}27 MPa.

Passo 6

Peng–Robinson também ajusta atração com fator α(T). A EOS é
P=RTv-b -a,alphav^2+2b,v-b^2,
com α(T)=1 em T=Tc. E os parâmetros
arm PR=0,45724R^2Tc^2Pcapprox0,396;, brm PR=0,07780R,TcPcapprox2,66×10^-5

Passo 7

Calcule P₁ e P₂ em PR:
Para v₁=0{,}0003:
P1^rm PR approx 8,314·304,20,0003-2,66·10^-5 -0,396(0,0003)^2+2·2,66·10^-5·0,0003-(2,66·10^-5)^2 approx5,49;rm MPa
Para v₂=0{,}0009:
P2^rm PR approx 2,90 - 0,46 = 2,43;rm MPa
Então ΔP^{PR}≈2{,}43−5{,}49=−3{,}06 MPa.

Resposta

vdW: P₁=5,78 MPa, P₂=2,50 MPa, ΔP=−3,28 MPa
RK: P₁=9,15 MPa, P₂=2,88 MPa, ΔP=−6,27 MPa
PR: P₁=5,49 MPa, P₂=2,43 MPa, ΔP=−3,06 MPa

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