Ar contido em uma configuração pistão-cilindro opera seguindo o ciclo de máquina térmica de Carnot, recebendo calor de um reservatório térmico quente a 1200 K e rejeitando calor em um reservatório térmico frio a 400 K . Para a comparação com o ciclo de motores de combustão interna a gasolina (ciclo Otto ideal), que corresponde a dois processos adiabáticos quase-estáticos e dois processos isocóricos, adote as mesmas temperaturas extremas e uma razão de compressão
para ambos ciclos. Assuma que o fluido de trabalho é sempre ar e se comporta como um gás ideal. Sugestão: Para uma melhor compreensão da máquina térmica de Carnot de um gás ideal veja a Seção 5.9 das notas de aula, enquanto que para o ciclo de Otto veja a Seção 9.5 do livro de Çengel & Boles (2013).
(a) Esboce o ciclo de Carnot nos diagramas
e
, com indicação clara dos sentidos dos processos e a numeração dos estados (
e 4).
(b) Esboce o ciclo Otto ideal nos diagramas
e
, com indicação clara dos sentidos dos processos e a numeração dos estados (
e 4).
(c) Determine a quantidade específica de trabalho líquido realizado pelo ar em ambas as configurações de máquina térmica, em
.
(d) Determine a quantidade específica de calor recebida em ambas as configurações da máquina térmica, em
.
(e) Determine a eficiência térmica
do ciclo de Carnot e do ciclo Otto ideal, em
. Explique o motivo pelo qual nenhuma das duas é de
.
(f) Determine a eficiência de segunda lei (
) para o ciclo Otto ideal, em %. Explique o motivo pelo qual não é de
.
(g) Determine a razão de compressão (
) necessária para que um novo ciclo Otto ideal opere de forma que
entre as mesmas temperaturas dos reservatórios térmicos.
(h) Usando
, os calores por unidade de massa
e
obtidos anteriormente e as temperaturas dos reservatórios
e
, avalie a geração de entropia específica (
), em
, para ambos ciclos e utilize os resultados de
para justificar as diferenças entre as eficiências obtidas no item (e),
e
.
(a) Esboce o ciclo de Carnot nos diagramas
(b) Esboce o ciclo Otto ideal nos diagramas
(c) Determine a quantidade específica de trabalho líquido realizado pelo ar em ambas as configurações de máquina térmica, em
(d) Determine a quantidade específica de calor recebida em ambas as configurações da máquina térmica, em
(e) Determine a eficiência térmica
(f) Determine a eficiência de segunda lei (
(g) Determine a razão de compressão (
(h) Usando
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar explicitamente o que foi dado e o que é pedido (sem resolver ainda).
Dados importantes (vou usar valores típicos do ar como gás ideal, conforme pedido):
Assumirei propriedades constantes do ar (valores padrão):
logo
Perguntas do enunciado (resumo):
(a) Esboçar o ciclo de Carnot em e
com sentidos e estados
.
(b) Esboçar o ciclo Otto ideal em e
com sentidos e estados
.
(c) Determinar o trabalho líquido específico ( ) para ambos os ciclos.
(d) Determinar o calor recebido específico ( ) para ambos os ciclos.
(e) Calcular eficiências térmicas do Carnot e do Otto (em %). Explicar por que não são
.
(f) Calcular a eficiência de segunda lei do Otto (em %) e explicar por que não é
.
(g) Encontrar a razão de compressão tal que
entre as mesmas temperaturas.
(h) Usando , os calores
e
obtidos e
, avaliar a geração de entropia específica
para ambos os ciclos e usar isso para justificar as diferenças de eficiência.
(a) Esboçar o ciclo de Carnot em
(b) Esboçar o ciclo Otto ideal em
(c) Determinar o trabalho líquido específico (
(d) Determinar o calor recebido específico (
(e) Calcular eficiências térmicas
(f) Calcular a eficiência de segunda lei
(g) Encontrar a razão de compressão
(h) Usando
Observação importante (vou tratar com cuidado na resolução): há uma inconsistência física entre pedir que o ciclo de Carnot opere entre
e
E que a razão global de volumes
seja igual a
. Vou explicar isso detalhadamente e como isso afeta os cálculos do Carnot. A resolução começa agora.
Passo 2
Esboço e explicação didática do ciclo de Carnot (sem contas ainda).
Descrição do ciclo de Carnot reversível (sentido que produz trabalho: sentido anti-horário num diagrama
):
- Estado 1
Estado 2: isoterma quente a — expansão isoterma (o sistema recebe calor do reservatório quente). No diagrama é uma curva decrescente isoterma; no é uma linha horizontal a com aumento de entropia do fluido (s aumenta). - Estado 2
Estado 3: expansão adiabática reversível (isentrópica) — a temperatura cai de para ; no , a entropia permanece constante. - Estado 3
Estado 4: compressão isoterma a — o sistema rejeita calor para o reservatório frio; no é uma linha horizontal a com diminuição de entropia do fluido. - Estado 4
Estado 1: compressão adiabática reversível — eleva a temperatura de de volta a ; entropia constante.
Marcações que eu colocaria no esboço:
- No
: quatro ramos, dois isotérmicos (curvas) e dois adiabáticos (mais inclinados), sentido anti-horário. - No
: dois horizontais (isotermas) ligados por duas verticais (adiabáticas, já que em adiabáticas reversíveis constante, aparecem como linhas verticais entre e ).
(obs.: os esboços são conceituais; usei a ordem 1→2 (isoterma quente), 2→3 (adiabática expansão), 3→4 (isoterma fria), 4→1 (adiabática compressão).)
Passo 3
Esboço e explicação didática do ciclo Otto ideal (motor, sentido anti-horário no
).
Descrição padrão do ciclo Otto (quatro processos):
- Estado 1
Estado 2: compressão adiabática reversível (isentropica) — volume reduz de a . - Estado 2
Estado 3: aquecimento isocórico (volume constante) — aumenta a temperatura e a pressão; esse é o processo de “adição de calor” no Otto (combustão idealizada). - Estado 3
Estado 4: expansão adiabática reversível (isentropica) — trabalho de potência do motor. - Estado 4
Estado 1: resfriamento isocórico (volume constante) — rejeição de calor ao ambiente (ou ao condensador).
No
: dois ramos adiabáticos (curvas) e dois ramos verticais (isocóricos). No
: adiabáticos aparecem como verticais (s constante) e isocóricos como linhas horizontais onde
muda. Numerar 1-4 conforme acima e indicar sentido anti-horário.
Passo 4
Dedução das fórmulas relevantes para cada ciclo (aulas rápidas e intuitivas das relações usadas).
Primeiro: relações adiabáticas (reversíveis) para gás ideal:
Explicação: numa transformação adiabática reversível não há troca de calor; para gás ideal isso implica que as variáveis
e
satisfazem a segunda relação acima. Aqui
.
Isoterma para gás ideal (trabalho e calor):
- Em transformação isoterma reversível a temperatura é constante e a pressão obedece
. O calor trocado por unidade de massa na isoterma é:
Explicação: pela primeira lei na isoterma
e
por
.
Isochoras (volume constante) — calor trocado:
Explicação: em volume constante, trabalho
, então
.
Eficiência térmica (definição):
onde
é o calor recebido do reservatório quente (positivo quando recebido pelo fluido) e
o calor rejeitado (negativo se definido como calor recebido pelo fluido).
Para o ciclo de Carnot há a fórmula simples e bonita (reversível):
Explicação: Carnot é reversível então
e daí a fórmula.
Para o ciclo Otto ideal com ar ideal e
constante:
onde
é a razão de compressão. Justificativa rápida: usando relações adiabáticas e calor isocórico obtém-se essa expressão (é muito comum nos livros).
Passo 5
Análise da inconsistência física entre Carnot e
; fórmula geral para os calores do Carnot.
Para o ciclo de Carnot, denote os volumes nos estados (usando a numeração do passo 2):
com
isoterma a
,
adiabática,
isoterma a
,
adiabática. As relações adiabáticas ligam os volumes:
E também
Das isotermas temos uma razão comum
. Então o volume máximo e mínimo do ciclo são
e
, e
Isto implica
Agora veja o ponto crucial com números: com
e
, temos
Assim
Se o enunciado exige
, então
. Mas
representa a razão de volumes numa expansão isoterma a
; para uma expansão temos
. O valor
significaria que, para satisfazer simultaneamente
e
, a "isoterma em
" teria de ser uma compressão (V diminui) em vez de expansão — isto inverteria o sentido do ciclo (não seria um motor térmico que extrai trabalho). Em termos práticos: para um Carnot reversível operando com ar ideal entre
e
, o menor possível de
que permite um ciclo no sentido de produzir trabalho é
Portanto o pedido “usar
para o Carnot” é fisicamente inconsistente com os
e
fornecidos e com ar modelo ideal. Conclusão: não existe um Carnot reversível com ar ideal entre
e
que tenha
e ainda opere como motor (produza trabalho). Vou então:
- Dar as fórmulas gerais para o Carnot (válidas para qualquer
) e afirmar que, com , não dá para obter valores numéricos consistentes sem inverter o sentido do ciclo. - Prosseguir com os cálculos numéricos completos para o ciclo Otto (pois para Otto
é perfeitamente possível e os extremos de temperatura foram aplicados como e , conforme interpretação natural do enunciado).
Fórmulas gerais do Carnot (por unidade de massa), em função de
:
logo trabalho líquido específico
e eficiência
Mas, repetindo: para
com os dados dados, o
exigido seria
, que muda o sentido do calor na isoterma de
(não é um motor). Por isso não podemos dar
e
numéricos consistentes para o Carnot com
no sentido motor. O que podemos dar para o Carnot é a eficiência (número que independe de volumes).
Passo 6
Cálculo detalhado (passo a passo, com ensino) para o ciclo Otto ideal — obtenção de
em cada estado, calores e trabalhos por unidade de massa.
Interpretação natural para comparar com o Carnot: tomamos nos estados do Otto a temperatura mínima
e a máxima
(essas são as “temperaturas extremas” do enunciado). O ciclo Otto tem compressão adiabática de
com razão
. Usamos a relação adiabática:
Calculemos
explicitamente:
Logo:
Agora os calores (por unidade de massa):
- Calor recebido (adição de calor isocórica de
):
Faço a conta:
- Calor rejeitado (isochora
):
Aqui
como definido por
recebido pelo sistema será negativo (rejeição de calor). O valor numérico (magnitude de rejeição) é
- Trabalho líquido por unidade de massa:
(ou simplesmente
usando
negativo).
Verificação da eficiência do Otto a partir dos calores:
Isto bate com a fórmula teórica
.
Passo 7
Eficiências e explicação por que nenhuma é
.
- Para Carnot:
Explicação didática: mesmo um ciclo reversível perfeito não pode converter todo o calor em trabalho porque, para rejeitar calor ao reservatório mais frio e completar o ciclo, alguma energia deve ser entregue ao reservatório frio proporcional a
. Essa é a limitação da termodinâmica (segunda lei): eficiências maiores que Carnot são impossíveis, e Carnot nunca alcança
se
.
- Para Otto (numeração e cálculos do passo 6):
Explicação didática: o Otto não é reversível (tem irreversibilidades associadas à transferência de calor na combustão e aos processos reais), e sua eficiência depende somente da razão de compressão
e
. Mesmo no Otto ideal há rejeição de calor e, portanto, não se consegue
.
Passo 8
Eficiência de segunda lei para o Otto (definição usada e cálculo).
Definição prática que usaremos: a eficiência de segunda lei
é a eficiência real (ou do ciclo Otto ideal aqui) comparada com a eficiência máxima teórica (Carnot) entre os mesmos reservatórios:
Usando os valores:
Interpretação: o Otto ideal converte cerca de
daquilo que um ciclo reversível (Carnot) poderia, entre as mesmas temperaturas. Não é
pois o Otto não é um ciclo reversível e tem irreversibilidades intrínsecas ao seu processo de calor (adição e rejeição de calor em isocoras, não reversíveis com os reservatórios em geral).
Passo 9
Determinar
tal que
.
Igualamos as eficiências:
Logo
Com nossos números:
Isto confirma o resultado do Passo 5: para igualar a eficiência do Carnot com esse
e essa razão de temperaturas, a razão de compressão do Otto teria de ser muito maior (
), e portanto não é possível com
.
Passo 10
Cálculo da geração de entropia específica
para ambos os ciclos usando os calores e as temperaturas dos reservatórios.
Regra geral para geração de entropia por ciclo (os valores são por unidade de massa): como a variação de entropia do sistema em ciclo é zero, a entropia gerada é a soma das variações de entropia dos reservatórios (e.g. universo):
Interpretando sinais:
é o calor recebido pelo sistema (positivo),
é o calor recebido pelo sistema (negativo quando o sistema rejeita calor). Alternativamente, usando magnitudes
:
- Para o Carnot reversível: por construção
, então
Isto significa que um Carnot reversível não gera entropia (idealização).
- Para o Otto (usando os
do Passo 6 e as temperaturas dadas e , conforme pedido):
Então
Calculemos:
Somando:
Interpretação: o Otto ideal (mesmo sendo “ideal” no sentido de processos adiabáticos sem atrito) gera entropia quando comparado com os reservatórios a
porque a adição e rejeição de calor não são reversíveis com as temperaturas dos reservatórios (adição de calor num processo isocórico que não é a mesma coisa que uma isoterma reversível etc.). Essa geração de entropia explica porque
: parte do calor que poderia, em princípio, se converter em trabalho é “perdida” para aumentar a entropia do universo e assim fica indisponível para conversão em trabalho.
Resposta
(a) Esboço do Carnot: ciclo com 1→2 isoterma a
, 2→3 adiabática, 3→4 isoterma a
, 4→1 adiabática; sentido anti-horário (motor) em
e
com horizontais em
nas isotermas e verticais nas adiabáticas.
(b) Esboço do Otto: 1→2 compressão adiabática, 2→3 aquecimento isocórico (adição de calor), 3→4 expansão adiabática, 4→1 rejeição isocórica; sentido anti-horário em e
.
(c) Trabalho líquido específico: Carnot — não é possível determinar numericamente de forma consistente para um Carnot reversível com ar ideal entre K e
K se se exige
(isto é fisicamente inconsistente); Otto —
(d) Calor específico recebido : Carnot — depende da razão isotérmica
e, com
, o ciclo seria inconsistente (não se obtém
numérico no sentido motor); Otto —
(e) Eficiência térmica:
Nenhuma é
porque a segunda lei da termodinâmica impede a conversão completa do calor em trabalho quando há um reservatório frio (é necessário rejeitar calor), e porque ciclos reais/idealizados (como Otto) têm irreversibilidades que reduzem ainda mais a eficiência.
(f) Eficiência de segunda lei do Otto: Não é
porque o Otto não atinge a reversibilidade ideal de Carnot (há geração de entropia no processo de adição/rejeção de calor).
(g) Razão de compressão para :
(b) Esboço do Otto: 1→2 compressão adiabática, 2→3 aquecimento isocórico (adição de calor), 3→4 expansão adiabática, 4→1 rejeição isocórica; sentido anti-horário em
(c) Trabalho líquido específico: Carnot — não é possível determinar numericamente de forma consistente para um Carnot reversível com ar ideal entre
(d) Calor específico recebido
(e) Eficiência térmica:
(f) Eficiência de segunda lei do Otto:
(g) Razão de compressão para
(h) Geração de entropia específica usando
e os calores obtidos:
Justificativa:
para Otto mostra irreversibilidade e explica porque
.