Calcule o volume molar do líquido saturado e o volume molar do vapor saturado, com a equação de Redlich/ Kwong, para uma das opções a seguir, e compare os resultados com os valores obtidos com correlações generalizadas adequadas. E equação de Van Der Waals
(j) Isobutano a 100^{\circ} \mathrm{C}, onde P^{\text {sat }}=20,03 bar.

Passo 1

O enunciado pede o volume molar do líquido saturado e do vapor saturado de isobutano a 100^\circ\mathrm{C} (ou T=373{,}15,K) e P^{\rm sat}=20{,}03,bar, usando as equações de Redlich–Kwong e de Van der Waals. Para isso precisamos
  1. dos dados críticos de isobutano: \,T_c=407{,}7,K, P_c=36{,}48,bar;
  2. da constante universal R=0{,}08314,ba r\cdot L·mol ^{-1}·K ^{-1};
  3. das expressões das constantes a e b em cada EOS;
  4. da técnica de solução de uma equação cúbica em v para obter as três raízes e identificar a menor (líquido) e a maior (vapor).

Passo 2

Cálculo de a e b na equação de Van der Waals:
a = \frac{27\,R^2\,T_c^2}{64\,P_c}, \qquad b = \frac{R\,T_c}{8\,P_c}.
Substituindo
a = \frac{27\,(0{,}08314)^2\,(407{,}7)^2}{64\cdot36{,}48}\approx13{,}29\\ \text{bar\cdotL}^2\!\big/\text{mol}^2,
b = \frac{0{,}08314\cdot407{,}7}{8\cdot36{,}48}\approx0{,}1162\\ \text{L/mol}.

Passo 3

Escrevemos a EOS de Van der Waals em função de v:
P = \frac{R\,T}{v - b} - \frac{a}{v^2}.
Multiplicando por (v-b)v^2 e rearranjando, obtemos o polinômio
20{,}03\,v^3 -\bigl(20{,}03\,b+R\,T\bigr)\,v^2 + a\,v - a\,b = 0,
onde R\,T=0{,}08314\cdot373{,}15\approx31{,}01,ba r\cdot L/mol e P=20{,}03,bar. Substituindo números e dividindo por 20{,}03,
v^3 -1{,}665\,v^2 +0{,}664\,v -0{,}0771=0.

Passo 4

Solução numérica (por Newton, bisseção, etc.) do polinômio de Van der Waals leva às três raízes reais. As duas relevantes são
v_{\rm f}^{\rm VdW}\approx0{,}242\\ \text{L/mol}\quad(\text{líquido}),í
v_{\rm g}^{\rm VdW}\approx1{,}15\\ \text{L/mol}\quad(\text{vapor}).

Passo 5

Cálculo de a e b na equação de Redlich–Kwong:
a = 0{,}42748\,\frac{R^2\,T_c^{2{,}5}}{P_c}, \qquad b = 0{,}08664\,\frac{R\,T_c}{P_c}.
Substituindo
a \approx272{,}2\\ \text{bar\cdotL}^2\!\big/\text{mol}^2, \qquad b \approx0{,}08052\\ \text{L/mol}.

Passo 6

A EOS de Redlich–Kwong é
P = \frac{R\,T}{v - b} \;-\;\frac{a}{\sqrt{T}\,v\,(v+b)}.
Rearranjando e coletando termos em v^3,v^2,v,1, obtemos o polinômio
20{,}03\,v^3 -31{,}01\,v^2 +11{,}466\,v -1{,}135 = 0,
ou, normalizado,
v^3 -1{,}548\,v^2 +0{,}5723\,v -0{,}05667=0.
Resolvendo numericamente, achamos
v_{\rm f}^{\rm RK}\approx0{,}163\\ \text{L/mol}\quad(\text{líquido}),í
v_{\rm g}^{\rm RK}\approx1{,}05\\ \text{L/mol}\quad(\text{vapor}).

Passo 7

Valores de referência via correlações generalizadas (compressibilidade):
T_r = \frac{T}{T_c}\approx0{,}915,\quad P_r = \frac{P^{\rm sat}}{P_c}\approx0{,}549.
Da carta de compressibilidade, nos pontos de bolha e orvalho obtém-se aproximadamente
Z_{\rm f}\approx0{,}115,\quad Z_{\rm g}\approx0{,}949.
Logo
v_{\rm f}^{\rm ref} = Z_{\rm f}\,\frac{R\,T}{P} \approx0{,}115\;\frac{31{,}01}{20{,}03}\approx0{,}178\\ \text{L/mol},
v_{\rm g}^{\rm ref} = Z_{\rm g}\,\frac{R\,T}{P} \approx0{,}949\;\frac{31{,}01}{20{,}03}\approx1{,}47\\ \text{L/mol}.

Resposta

Van der Waals:
v_{\rm f}^{\rm VdW}\approx0{,}242\\ \text{L/mol},\quad v_{\rm g}^{\rm VdW}\approx1{,}15\\ \text{L/mol}.
Redlich–Kwong:
v_{\rm f}^{\rm RK}\approx0{,}163\\ \text{L/mol},\quad v_{\rm g}^{\rm RK}\approx1{,}05\\ \text{L/mol}.
Referência (gráfico generalizado):
v_{\rm f}^{\rm ref}\approx0{,}178\\ \text{L/mol},\quad v_{\rm g}^{\rm ref}\approx1{,}47\\ \text{L/mol}.
Comparação rápida: Van der Waals superestima v_f em \approx 36 % e subestima v_g em \approx 22 %, enquanto RK subestima v_f em \approx 8 % e subestima v_g em \approx 28 %.

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