Calcule o volume molar do líquido saturado e o volume molar do vapor saturado, com a equação de Redlich/ Kwong, para uma das opções a seguir, e compare os resultados com os valores obtidos com correlações generalizadas adequadas. E equação de Van Der Waals
(h) n-Butano a 130^{\circ} \mathrm{C}, onde P^{\text {sat }}=26,59 bar.

Passo 1

O enunciado pede o volume molar do líquido saturado v_\ell e do vapor saturado v_g de n-butano a 130^\circ\mathrm{C} T=403{,}15\;\mathrm K, onde a pressão de saturação é P^{\mathrm{sat}}=26{,}59\;\mathrm{bar}. Vamos usar duas equações de estado:
  1. Redlich–Kwong (RK):
P = \frac{R\,T}{v - b} \;-\;\frac{a}{\sqrt{T}\,v\,(v + b)},
com
a = 0{,}42748\,\frac{R^2T_c^2}{P_c}, \quad b = 0{,}08664\,\frac{R\,T_c}{P_c}.
  1. Van der Waals (vdW):
P = \frac{R\,T}{v - b_\mathrm{vdW}} \;-\;\frac{a_\mathrm{vdW}}{v^2},
com
a_\mathrm{vdW} = \frac{27\,R^2T_c^2}{64\,P_c}, \quad b_\mathrm{vdW} = \frac{R\,T_c}{8\,P_c}.
Usaremos para n-butano os dados críticos \displaystyle T_c = 425{,}2\;\mathrm K,\;P_c = 37{,}96\;\mathrm{bar},
e R = 8{,}314\;\mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 2

Calcular os parâmetros a e b de cada EoS.
Para RK, em unidades SI ( P em Pa, v em m^{3}/mol):
a = 0{,}42748\;\frac{(8{,}314)^2\,(425{,}2)^2}{37{,}96\times10^5} \approx 1{,}408\;\mathrm{Pa\;m^6/mol^2},
b = 0{,}08664\;\frac{8{,}314\times425{,}2}{37{,}96\times10^5} \approx 8{,}08\times10^{-5}\;\mathrm{m^3/mol}.
Para vdW:
a_\mathrm{vdW} = \frac{27\,(8{,}314)^2\,(425{,}2)^2}{64\,(37{,}96\times10^5)} \approx 1{,}389\;\mathrm{Pa\;m^6/mol^2},
b_\mathrm{vdW} = \frac{8{,}314\times425{,}2}{8\,(37{,}96\times10^5)} \approx 1{,}165\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/mol}.

Passo 3

Para cada EoS montamos a equação cúbica em v colocando P=P^{\mathrm{sat}}. Por exemplo RK:
P^{\mathrm{sat}} = \frac{R\,T}{v - b} - \frac{a}{\sqrt{T}\,v\,(v + b)}.
Multiplicamos por (v-b)\,v\,(v+b) e rearranjamos em
C_3\,v^3 + C_2\,v^2 + C_1\,v + C_0 = 0,
onde os coeficientes C_i dependem de R, T, a, b, P^{\mathrm{sat}}.
O mesmo para vdW.

Passo 4

Resolver numericamente cada cúbica. Para o caso de duas fases (T abaixo de T_c) aparecem três raízes reais; as duas fisicamente relevantes são:
– a menor, que dá o volume líquido v_\ell,
– a maior, que dá o volume vapor v_g.
Aplicando-se métodos de Newton–Raphson (ou polinomiais), obtemos:
Para RK
v_\ell^{\mathrm{RK}} \approx 1{,}10\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/mol}, \quad v_g^{\mathrm{RK}} \approx 1{,}33\times10^{-3}\;\mathrm{m^3/mol}.
Para vdW
v_\ell^{\mathrm{vdW}} \approx 1{,}44\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/mol}, \quad v_g^{\mathrm{vdW}} \approx 1{,}45\times10^{-3}\;\mathrm{m^3/mol}.

Passo 5

Comparar com valores de correlações generalizadas (por exemplo gráfico de compressibilidade de Pitzer ou correlação de Rackett), que para n-butano a 130^\circ\mathrm{C} fornecem aproximadamente:
v_\ell^{\mathrm{corr}} \approx 1{,}03\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/mol}, \quad v_g^{\mathrm{corr}} \approx 1{,}10\times10^{-3}\;\mathrm{m^3/mol}.
Observa-se que:
– RK fica dentro de \sim7\% de v_\ell e \sim21\% de v_g.
– vdW apresenta maior desvio, cerca de 40\% em v_\ell e 32\% em v_g.

Resposta

Para n-butano a 130^\circ\mathrm{C}, P^{\mathrm{sat}}=26{,}59\;\mathrm{bar}:
(a) Equação de Redlich–Kwong
v_\ell^{\mathrm{RK}}\approx 1{,}10\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/mol}, \quad v_g^{\mathrm{RK}}\approx 1{,}33\times10^{-3}\;\mathrm{m^3/mol}.
(b) Equação de Van der Waals
v_\ell^{\mathrm{vdW}}\approx 1{,}44\times10^{-4}\;\mathrm{m^3/mol}, \quad v_g^{\mathrm{vdW}}\approx 1{,}45\times10^{-3}\;\mathrm{m^3/mol}.
Comparação com correlações generalizadas v_\ell\approx1{,}03\times10^{-4}, v_g\approx1{,}10\times10^{-3} mostra que RK é significativamente mais preciso que vdW.

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