Considere 1 mol de gás Hélio, inicialmente à temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 1,013 . 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, submetido aos seguintes processos: (i)Expansão isotérmica até o triplo do volume inicial; (ii) Aquecimento isocórico, absorvendo 209,3 J (iii) Compressão isotérmica, até voltar ao volume inicial. (a) Represente os processos descritos acima num diagrama Pressão X Volume. (OBS: A pressão deve estar em N / m^{2} e o volume em m^{3} ). (b) Calcule o trabalho, a quantidade de calor e a energia interna para cada processo descrito acima.
ADOTE: C_{P}=\frac{5 R}{2}

Passo 1

O problema trata de 1 mol de He (gás monoatômico ideal) que parte do estado \displaystyle P_{1}=1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}, \displaystyle T_{1}=0\,^{\circ}\mathrm{C}=273{,}15\,\mathrm{K}.
Passa por três processos:
  1. Expansão isotérmica (i) até \displaystyle V_{2}=3V_{1}.
  2. Aquecimento isocórico (ii) no volume \displaystyle V_{2}, absorvendo 209{,}3 J.
  3. Compressão isotérmica (iii) até \displaystyle V_{1}.
    Conteúdo: diagrama P\!\times\!V, trabalho de gás, calor trocado e variação de energia interna usando a 1.ª lei da termodinâmica e propriedades do gás ideal.

Passo 2

Vamos achar o volume inicial \displaystyle V_{1} e os pontos intermediários:
Pela equação dos gases ideais,
V_{1}=\frac{nR T_{1}}{P_{1}} =\frac{(1)(8{,}314)\,(273{,}15)}{1{,}013\times10^{5}} \approx0{,}02242\\ \mathrm{m^{3}}.
Então \displaystyle V_{2}=3V_{1}\approx0{,}06727\\ \mathrm{m^{3}},
e pela isotermia inicial \displaystyle P_{2}=\frac{nR T_{1}}{V_{2}}=P_{1}\frac{V_{1}}{V_{2}} =\frac{1{,}013\times10^{5}}{3}\approx3{,}377\times10^{4}\,\mathrm{Pa}.

Passo 3

Processo (i): expansão isotérmica a \displaystyle T_{1}. No diagrama P\!\times\!V é uma hipérbole de (V_{1},P_{1}) a (V_{2},P_{2}).
Trabalho feito pelo gás (convenção W>0 expandindo):
W_{12} =\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =nR T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} =(1)(8{,}314)(273{,}15)\ln3 \approx2{,}494\\ {\rm J}.
Como \Delta U_{12}=0 em isotérmica, o calor trocado é
Q_{12}=W_{12}\approx2{,}494\\ {\rm J},\qquad \Delta U_{12}=0.

Passo 4

Processo (ii): aquecimento isocórico em V_{2}. No diagrama é uma reta vertical de (V_{2},P_{2}) a (V_{2},P_{3}).
Trabalho W_{23}=0. Pela 1.ª lei,
Q_{23}=\Delta U_{23}=nC_{V}\,\Delta T,
com C_{V}=\tfrac{3R}{2}. Logo
\Delta T=\frac{Q_{23}}{nC_{V}} =\frac{209{,}3}{(1)\,(3/2)(8{,}314)} \approx16{,}79\\ {\rm K},
T_{3}=T_{2}+\Delta T=273{,}15+16{,}79 \approx289{,}94\\ {\rm K}.
A pressão final desse aquecimento é
P_{3}=\frac{nR T_{3}}{V_{2}} =\frac{(1)(8{,}314)(289{,}94)}{0{,}06727} \approx3{,}583\times10^{4}\,\mathrm{Pa}.
Portanto
Q_{23}=209{,}3\\ {\rm J},\quad W_{23}=0,\quad \Delta U_{23}=209{,}3\\ {\rm J}.

Passo 5

Processo (iii): compressão isotérmica a \displaystyle T_{3} de (V_{2},P_{3}) até (V_{1},P_{4}). No diagrama é outra hipérbole.
Trabalho (agora negativo, gás é comprimido):
W_{34} =nR T_{3}\ln\frac{V_{1}}{V_{2}} =(1)(8{,}314)(289{,}94)\ln\frac{1}{3} \approx-2{,}647\\ {\rm J}.
Em isotérmica \Delta U_{34}=0, logo
Q_{34}=W_{34}\approx-2{,}647\\ {\rm J},\quad \Delta U_{34}=0.
Para referência,
P_{4}=\frac{nR T_{3}}{V_{1}} \approx1{,}075\times10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Resposta

(a) Diagrama P\!\times\!V:
– Isoterma em T_{1}=273{,}15 K de (V_{1},P_{1}) a (V_{2},P_{2})
– Vertical (isocórico) de (V_{2},P_{2}) a (V_{2},P_{3})
– Isoterma em T_{3}=289{,}94 K de (V_{2},P_{3}) a (V_{1},P_{4}).
(b) Valores de trabalho W, calor Q e variação de energia interna \Delta U:
(i) Expansão isotérmica
W_{12}=+2{,}494\\ {\rm J},\quad Q_{12}=+2{,}494\\ {\rm J},\quad \Delta U_{12}=0.
(ii) Aquecimento isocórico
W_{23}=0,\quad Q_{23}=+209{,}3\\ {\rm J},\quad \Delta U_{23}=+209{,}3\\ {\rm J}.
(iii) Compressão isotérmica
W_{34}=-2{,}647\\ {\rm J},\quad Q_{34}=-2{,}647\\ {\rm J},\quad \Delta U_{34}=0.

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