Calcule Ze V para o etileno a 25^{\circ} \mathrm{C} e 12bar, com as seguintes equações:
e) A equação de Peng Robinson

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fator de compressibilidade Z e do volume molar V para o etileno à temperatura de 25^\circ\mathrm{C} (isto é, T=298{,}15\\ \mathrm{K}) e pressão de 12\\ \mathrm{bar}, usando a equação de Peng–Robinson. Vamos precisar dos dados críticos do etileno T_c, P_c, \omega, da constante universal dos gases e da forma cúbica da equação de Peng–Robinson para determinar Z e em seguida V.

Passo 2

A equação de Peng–Robinson se escreve
P \;=\;\frac{R\,T}{V - b}\;-\;\frac{a(T)}{V\,(V + b)\;+\;b\,(V - b)}
com os parâmetros
a(T)=0{,}45724\,\frac{R^2\,T_c^2}{P_c}\,\alpha(T), \quad b=0{,}07780\,\frac{R\,T_c}{P_c},
onde
\alpha(T)=\bigl[1+\kappa\,(1-\sqrt{T/T_c})\bigr]^2, \quad \kappa=0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2.

Passo 3

Usamos os dados críticos do etileno (tabela NIST): \;T_c=282{,}34\\ \mathrm{K},\;P_c=50{,}41\\ \mathrm{bar},\;\omega=0{,}086.
A constante dos gases é R=0{,}08314\\ \mathrm{bar\cdot L/(mol\cdot K)}.

Passo 4

Calculamos \kappa e \alpha(T):
\kappa=0{,}37464+1{,}54226\cdot0{,}086-0{,}26992\cdot(0{,}086)^2\approx0{,}5053,
\sqrt{\frac{T}{T_c}}=\sqrt{\frac{298{,}15}{282{,}34}}\approx1{,}0275, \quad \alpha=\bigl[1+0{,}5053\,(1-1{,}0275)\bigr]^2\approx0{,}9724.
Em seguida
a(T)=0{,}45724\;\frac{(0{,}08314)^2\,(282{,}34)^2}{50{,}41}\;0{,}9724\approx4{,}996\\ \mathrm{bar\;L^2/mol^2},
b=0{,}07780\;\frac{0{,}08314\cdot282{,}34}{50{,}41}\approx0{,}0362\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 5

Passamos à forma cúbica em Z. Definimos
A=\frac{a(T)\,P}{R^2\,T^2}, \quad B=\frac{b\,P}{R\,T}.
Substituindo P=12\\ \mathrm{bar} e T=298{,}15\\ \mathrm{K} obtemos
A\approx0{,}0976,\quad B\approx0{,}01752.
A equação cúbica é
Z^3-(1-B)\,Z^2+(A-3B^2-2B)\,Z-\bigl(A\,B - B^2 - B^3\bigr)=0.

Passo 6

Substituindo os valores de A e B chegamos a
Z^3 - 0{,}98248\,Z^2 + 0{,}06164\,Z - 0{,}001396 = 0.
Dessa equação cúbica extraímos numericamente a raiz real que corresponde ao gás, obtendo
Z \approx 0{,}916.

Passo 7

Finalmente, o volume molar sai de
V = Z\,\frac{R\,T}{P}.
Logo
V \approx 0{,}916\;\frac{0{,}08314\cdot298{,}15}{12}\approx1{,}89\\ \mathrm{L/mol}.

Resposta

Z \approx 0{,}916 V \approx 1{,}89\\ \mathrm{L/mol}

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