Uma caldeira produz vapor a 1 atm e 150^{\circ} \mathrm{C} a partir de água líquida a 90^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} calor é fornecido por uma corrente de 30 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de nitrogênio, que entra em contato direito na caldeira a 400^{\circ} \mathrm{C} e sai a 200^{\circ} \mathrm{C}. Para cada kilograma de vapor gerado, há uma perda de 50 kJ de calor para o ambiente, que está a 25 { }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando o nitrogênio um gás ideal com \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=7 / 2 \mathrm{R} calcule:
a) A taxa de produção de vapor.
b) A entropia gerada na caldeira.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Massa de nitrogênio que entra na caldeira: \dot{m}_{N_2}=30\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura do nitrogênio na entrada: T_{N_2,in}=400{~}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura do nitrogênio na saída: T_{N_2,out}=200{~}^{\circ}\mathrm{C}.
  • O nitrogênio pode ser tratado como gás ideal com capacidade calorífica a pressão constante dada por C_{p,N_2}=\tfrac{7}{2}R.
  • A caldeira produz vapor a 1\\ \mathrm{atm} e 150{~}^{\circ}\mathrm{C} a partir de água líquida a 90{~}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Para cada quilograma de vapor gerado há uma perda de calor para o ambiente de 50\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Temperatura ambiente (onde ocorre a perda): T_{amb}=25{~}^{\circ}\mathrm{C}.
Perguntas:
(a) Calcular a taxa de produção de vapor \dot{m}_v (em \mathrm{kg/s}).
(b) Calcular a taxa de geração de entropia na caldeira \dot{S}_{gen} (em \mathrm{kJ/(s\cdot K)} ou \mathrm{kW/K}).
Observações iniciais (a partir do enunciado):
  • O nitrogênio fornece calor ao sistema ao esfriar de 400{~}^{\circ}\mathrm{C} para 200{~}^{\circ}\mathrm{C}; esse calor serve para aquecer/evaporar/superaquecer a água e há também a perda de 50\\ \mathrm{kJ} por kg de vapor para o ambiente.
  • Vamos usar balanço de energia para achar \dot{m}_v e balanço de entropia (segunda lei) para achar \dot{S}_{gen}.
  • Todos os saltos de temperatura serão tratados em Kelvin quando aparecerem em logaritmos ou relações termodinâmicas.

Passo 2

Converter constantes e temperaturas e calcular C_{p} do nitrogênio em base por massa.
Explicação rápida (fórmula usada):
  • A constante universal dos gases é R_u=8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}.
  • A constante específica do gás é R = \dfrac{R_u}{M}, onde M é a massa molar em \mathrm{kg/kmol}.
  • Aqui M_{N_2}\approx 28{,}0134\\ \mathrm{kg/kmol}.
  • O enunciado deu C_{p,N_2}=\tfrac{7}{2}R no sentido molar; para obter C_{p} por kg usamos R específico.
Cálculos:
R_{N_2}=\dfrac{8{,}314}{28{,}0134}\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\approx 0{,}2968\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
C_{p,N_2}=\dfrac{7}{2}R_{N_2}=3{,}5\cdot 0{,}2968\approx 1{,}0388\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
Temperaturas em Kelvin:
T_{N_2,in}=400+273{,}15=673{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{N_2,out}=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K},
T_{amb}=25+273{,}15=298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Energia disponível do nitrogênio: calor liberado por unidade de tempo pelo fluxo de nitrogênio.
Teoria curta:
  • Para um gás ideal com variação de temperatura a pressão aproximadamente constante, a variação de entalpia por massa é \Delta h = C_p (T_{in}-T_{out}).
  • A taxa de calor liberada pelo nitrogênio é \dot{Q}_{N_2} = \dot{m}_{N_2}\, C_{p,N_2}\,(T_{N_2,in}-T_{N_2,out}).
Cálculo:
\Delta h_{N_2}=C_{p,N_2}(T_{N_2,in}-T_{N_2,out})=1{,}0388\cdot(673{,}15-473{,}15) =1{,}0388\cdot 200=207{,}76\\ \mathrm{kJ/kg}.
\dot{Q}_{N_2}=\dot{m}_{N_2}\,\Delta h_{N_2}=30\cdot 207{,}76=6\,232{,}8\\ \mathrm{kJ/s}.
Interpretação: o nitrogênio fornece 6\,232{,}8\\ \mathrm{kJ/s} (ou kW) à caldeira.

Passo 4

Determinar o calor necessário por quilograma de água para torná-la vapor a 1\\ \mathrm{atm} e 150{~}^{\circ}\mathrm{C}, incluindo a perda de 50\\ \mathrm{kJ/kg}.
Estratégia e fórmulas:
  • O aquecimento da água segue três etapas:
    1. Aquecer o líquido de 90{~}^{\circ}\mathrm{C} até a temperatura de saturação a 1\\ \mathrm{atm}, que é 100{~}^{\circ}\mathrm{C} (energia sensível do líquido): \Delta h_1 = c_{p,l}\,(100-90).
    2. Vaporização a 100{~}^{\circ}\mathrm{C} (calor latente): \Delta h_2 = h_{fg} (a 100{~}^{\circ}\mathrm{C}).
    3. Superaquecimento do vapor de 100{~}^{\circ}\mathrm{C} para 150{~}^{\circ}\mathrm{C}: \Delta h_3 = c_{p,g}\,(150-100).
  • Soma-se a perda extra por kg: 50\\ \mathrm{kJ/kg}.
Valores típicos (usados aqui; são os valores padrão tabelados aproximados):
  • c_{p,l} (água líquida) \approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Calor latente a 100{~}^{\circ}\mathrm{C}: h_{fg}\approx 2\,257\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • c_{p,g} (vapor d’água, aproximadamente) \approx 1{,}996\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Cálculos:
\Delta h_1 = 4{,}18\cdot(100-90)=4{,}18\cdot 10=41{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},
\Delta h_2 = 2257\\ \mathrm{kJ/kg},
\Delta h_3 = 1{,}996\cdot(150-100)=1{,}996\cdot 50=99{,}8\\ \mathrm{kJ/kg}.
Somando e incluindo a perda:
q_{req}=\Delta h_1+\Delta h_2+\Delta h_3 + 50 =41{,}8+2257+99{,}8+50=2\,448{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: cada quilograma de vapor exige cerca de 2\,448{,}6\\ \mathrm{kJ} do nitrogênio (incluindo a perda).

Passo 5

Calcular a taxa de produção de vapor \dot{m}_v.
Balanço de energia (estado estacionário, sem acumulação):
\dot{Q}_{N_2} = \dot{m}_v \, q_{req}.
Logo:
\dot{m}_v = \dfrac{\dot{Q}_{N_2}}{q_{req}}=\dfrac{6\,232{,}8}{2\,448{,}6}\\ \mathrm{kg/s}\approx 2{,}546\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando de forma razoável: \dot{m}_v\approx 2{,}55\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Preparação para o cálculo da entropia gerada: fórmula geral e escolhas.
Teoria (fórmula do balanço de entropia em regime estacionário para o volume de controle que é a caldeira):
\dot{S}_{gen}=\sum_{\text{saídas}}\dot{m}_{out}s_{out}-\sum_{\text{entradas}}\dot{m}_{in}s_{in}-\sum_{k}\dfrac{\dot{Q}_k}{T_k},í
onde \dot{Q}_k são as taxas de calor que atravessam a fronteira do volume de controle e T_k as temperaturas de contato externas correspondentes.
No nosso caso:
  • Entradas de massa: nitrogênio (entrada) e água líquida a 90{~}^{\circ}\mathrm{C}.
  • Saídas de massa: nitrogênio (saída) e vapor a 150{~}^{\circ}\mathrm{C}.
  • A única transferência de calor através da fronteira que aparece explicitamente no enunciado é a perda para o ambiente: \dot{Q}_{loss}=\dot{m}_v\cdot 50\\ \mathrm{kJ/s}. Essa perda ocorre com o ambiente a temperatura T_{amb}. (O calor fornecido pelo nitrogênio entra via fluxo de massa do nitrogênio; não é contado como \dot{Q}_k na fronteira porque é levado por massa que cruza a fronteira.)
Portanto:
\dot{S}_{gen}=\dot{m}_{N_2}\,(s_{N_2,out}-s_{N_2,in})+\dot{m}_v\,(s_{vapor,out}-s_{liq,in})-\dfrac{\dot{Q}_{loss}}{T_{amb}}.
Explicação de cada termo:
  • s_{N_2,out}-s_{N_2,in}: variação de entropia por kg do nitrogênio.
  • s_{vapor,out}-s_{liq,in}: variação de entropia por kg da água no processo líquido 90{ }°C → vapor 150{ }°C.
  • \dot{Q}_{loss}/T_{amb}: entropia transferida ao ambiente pela perda de calor (assumimos que essa perda ocorre à temperatura do ambiente).

Passo 7

Calcular as variações de entropia por kg dos fluxos (detalhadamente).
  1. Nitrogênio (gás ideal, pressão aproximadamente constante):
  • Para um gás ideal com pressão constante (ou desprezível variação de pressão) a diferença de entropia por massa é
\Delta s_{N_2}=s_{out}-s_{in}=C_{p,N_2}\ln\!\left(\dfrac{T_{out}}{T_{in}}\right).
Cálculo:
\Delta s_{N_2}=1{,}0388\cdot\ln\!\left(\dfrac{473{,}15}{673{,}15}\right) =1{,}0388\cdot\ln(0{,}7028)\approx 1{,}0388\cdot(-0{,}3526)=-0{,}3666\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Taxa total associada ao nitrogênio:
\dot{m}_{N_2}\Delta s_{N_2}=30\cdot(-0{,}3666)=-10{,}998\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
(Valor negativo porque o nitrogênio perde entropia ao resfriar.)
  1. Água (liquido 90{ }°C → vapor 150{ }°C):
  • Vamos decompor o processo em três partes e somar as variações de entropia (válido porque entropia é função de estado):
    a) Aquecimento líquido de T_1=90{~}^{\circ}\mathrm{C} ( 363{,}15\\ \mathrm{K}) a T_{sat}=100{~}^{\circ}\mathrm{C} ( 373{,}15\\ \mathrm{K}): \Delta s_{liq} = c_{p,l}\ln\!\left(\dfrac{373{,}15}{363{,}15}\right).b) Vaporização reversível à T_{sat}=373{,}15\\ \mathrm{K}: \Delta s_{vap} = \dfrac{h_{fg}}{T_{sat}}.c) Superaquecimento do vapor de 373{,}15\\ \mathrm{K} a 423{,}15\\ \mathrm{K} ( 150{~}^{\circ}\mathrm{C}): \Delta s_{sup} = c_{p,g}\ln\!\left(\dfrac{423{,}15}{373{,}15}\right).
  • Somando:
\Delta s_{agua}=\Delta s_{liq}+\Delta s_{vap}+\Delta s_{sup}.
Cálculos numéricos:
\Delta s_{liq}=4{,}18\cdot\ln\!\left(\dfrac{373{,}15}{363{,}15}\right) =4{,}18\cdot\ln(1{,}02755)\approx4{,}18\cdot0{,}02717\approx0{,}1137\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
\Delta s_{vap}=\dfrac{2\,257}{373{,}15}\approx6{,}049\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
\Delta s_{sup}=1{,}996\cdot\ln\!\left(\dfrac{423{,}15}{373{,}15}\right) =1{,}996\cdot\ln(1{,}1339)\approx1{,}996\cdot0{,}1256\approx0{,}2506\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Somando:
\Delta s_{agua}=0{,}1137+6{,}049+0{,}2506=6{,}4133\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Taxa total associada à água (entrando líquido e saindo vapor, com fluxo \dot{m}_v):
\dot{m}_v\Delta s_{agua}=2{,}546\cdot 6{,}4133\approx16{,}333\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.

Passo 8

Calcular a contribuição da perda de calor para o ambiente na equação de entropia.
A perda de calor total por segundo é:
\dot{Q}_{loss}=\dot{m}_v\cdot 50\\ \mathrm{kJ/kg}=2{,}546\cdot 50\approx127{,}3\\ \mathrm{kJ/s}.
A entropia associada a essa transferência (o termo \dfrac{\dot{Q}_{loss}}{T_{amb}} no balanço) é:
\dfrac{\dot{Q}_{loss}}{T_{amb}}=\dfrac{127{,}3}{298{,}15}\approx0{,}4273\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.

Passo 9

Montar o balanço final e obter a taxa de geração de entropia \dot{S}_{gen}.
Usando a fórmula do Passo 6:
\dot{S}_{gen}=\dot{m}_{N_2}\Delta s_{N_2}+\dot{m}_v\Delta s_{agua}-\dfrac{\dot{Q}_{loss}}{T_{amb}}.
Substituindo os valores calculados:
\dot{S}_{gen}=(-10{,}998)+16{,}333-0{,}4273\approx4{,}9077\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
Arredondando de forma prática: \dot{S}_{gen}\approx 4{,}91\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)} (o mesmo que 4{,}91\\ \mathrm{kW/K}).
Interpretação: valor positivo como exige a segunda lei (gera entropia).

Resposta

(a) \dot{m}_v \approx 2{,}55\\ \mathrm{kg/s}
(b) \dot{S}_{gen} \approx 4{,}91\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}

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