Ar úmido existe a uma temperatura de orvalho de 20^{\circ} \mathrm{C}, umidade relativa de 60,3 \% e pressão de 96,5 \mathrm{kPa}. Determine a) A umidade absoluta e b) O volume específico do ar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem ainda resolver nada.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de orvalho (ponto de orvalho): T_{dp}=20^{\circ}\mathrm{C}.
    • Umidade relativa: \varphi=60{,}3\% (ou \varphi=0{,}603 em fração).
    • Pressão total do ar: P=96{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • O enunciado pede:
    • (a) a umidade absoluta (isto é, a razão de mistura ou razão mássica de vapor para ar seco \omega = m_v/m_a, em \mathrm{kg\\ de\\ vapor}/\mathrm{kg\\ de\\ ar\\ seco} — normalmente também apresentada em \mathrm{g/kg});
    • (b) o volume específico do ar (volume por kg de ar seco), em \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}}.

Passo 2

Entender como obter a pressão parcial do vapor d’água e.
  • Definição: a temperatura de orvalho T_{dp} é a temperatura na qual o vapor está saturado; portanto a pressão parcial do vapor e é igual à pressão de saturação a T_{dp}: e = e_{s}(T_{dp}).
  • Vou calcular e_{s}(T) usando a fórmula de Tetens (uma aproximação muito usada em psicrometria):
e_{s}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right),
onde T é em {}^{\circ}\mathrm{C} e e_s em \mathrm{kPa}.
Aplicando T_{dp}=20^{\circ}\mathrm{C}:
  • Primeiro calcule o expoente:
\frac{17{,}27\cdot 20}{20+237{,}3}=\frac{345{,}4}{257{,}3}=1{,}342\ldots
  • Então
e = e_{s}(20)=0{,}61078\exp(1{,}342\ldots)=0{,}61078\cdot 3{,}8277\ldots \approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
Portanto a pressão parcial do vapor é \displaystyle e\approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa}. (Esse valor foi obtido pegando o dado da temperatura de orvalho e usando a fórmula de Tetens.)

Passo 3

Calcular a umidade absoluta \omega (razão de mistura, massa de vapor por massa de ar seco). Vou explicar a fórmula e derivá-la rapidamente:
  • Começo das leis dos gases ideais para cada componente no mesmo volume V e temperatura T:
    • Para o vapor: e\,V = m_v R_v T.
    • Para o ar seco: (P-e)\,V = m_a R_d T.
  • Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{e}{P-e}=\frac{m_v R_v}{m_a R_d}.
  • A razão de mistura é \omega=\dfrac{m_v}{m_a}. Então isolando \omega:
\omega=\frac{m_v}{m_a}=\frac{R_d}{R_v}\cdot\frac{e}{P-e}.
  • Define-se a constante \epsilon=\dfrac{R_d}{R_v}\approx 0{,}622. Assim a forma usual é
\omega=\epsilon\frac{e}{P-e},
onde \epsilon=0{,}622, e e P em \mathrm{kPa}.
Agora faço os cálculos numéricos:
  • Calcular P-e:
P-e=96{,}5-2{,}338=94{,}162\\ \mathrm{kPa}.
  • Calcular a razão:
\frac{e}{P-e}=\frac{2{,}338}{94{,}162}\approx 0{,}02485.
  • Portanto
\omega=0{,}622\cdot 0{,}02485\approx 0{,}01546\\ \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.
Converter para unidades mais usuais: 0{,}01546\\ \mathrm{kg/kg}=15{,}46\\ \mathrm{g/kg}.
Então a umidade absoluta é \omega\approx 0{,}01546\\ \mathrm{kg/kg} (ou 15{,}46\\ \mathrm{g/kg}).

Passo 4

Precisamos do dry‑bulb (temperatura do ar) para calcular o volume específico. O enunciado não deu diretamente a temperatura do ar, mas deu a umidade relativa \varphi e já temos e; usamos a relação
\varphi=\frac{e}{e_s(T)},
onde e_s(T) é a pressão de saturação à temperatura do ar T. Assim
e_s(T)=\frac{e}{\varphi}.
  • Calcular e_s(T):
e_s(T)=\frac{2{,}338}{0{,}603}\approx 3{,}877\\ \mathrm{kPa}.
Agora invertendo a fórmula de Tetens para obter T:
e_s(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)=3{,}877.
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{3{,}877}{0{,}61078}\right)=\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}.
Calcule o lado esquerdo:
\ln\!\left(\frac{3{,}877}{0{,}61078}\right)=\ln(6{,}349\ldots)=1{,}8479\ldots
Isolando T:
T=\frac{237{,}3\cdot 1{,}8479\ldots}{17{,}27-1{,}8479\ldots}\approx\frac{438{,}6}{15{,}422}\approx 28{,}44^{\circ}\mathrm{C}.
Converter para Kelvin (para usar em leis dos gases):
T_{K}=28{,}44+273{,}15=301{,}59\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura do ar (dry‑bulb) é T\approx 28{,}44^{\circ}\mathrm{C} ( T_{K}\approx 301{,}59\\ \mathrm{K}) — obtida usando a umidade relativa informada e o valor de e calculado a partir do ponto de orvalho.

Passo 5

Calcular o volume específico do ar úmido v (volume por kg de ar seco). Vou derivar a expressão usada:
  • Para a mistura gasosa, a equação de estado total é
P\,V=(m_a R_d + m_v R_v)T.
  • Tomando m_a=1\\ \mathrm{kg} (volume por kg de ar seco), e lembrando m_v=\omega, obtemos o volume por kg de ar seco:
v=\frac{V}{m_a}=\frac{R_d + \omega R_v}{P}\,T.
  • Nesta fórmula:
    • R_d é a constante dos gases para ar seco: R_d=0{,}287\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}.
    • R_v é a constante dos gases para vapor d’água: R_v=0{,}4615\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}.
    • \omega é a razão de mistura obtida no Passo 3.
    • T em \mathrm{K} e P em \mathrm{kPa}.
Agora calculo numericamente:
  • Primeiro calcule \omega R_v:
\omega R_v=0{,}01546\cdot 0{,}4615\approx 0{,}00714\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}.
  • Soma com R_d:
R_d+\omega R_v=0{,}287+0{,}00714=0{,}29414\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}.
  • Multiplica por T_{K}:
( R_d+\omega R_v )\,T =0{,}29414\cdot 301{,}59\approx 88{,}70\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/kg}.
  • Divide por P:
v=\frac{88{,}70}{96{,}5}\approx 0{,}919\\ \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}}.
Como checagem alternativa, usando a forma equivalente v=\dfrac{R_d T}{P}\left(1+\dfrac{\omega}{\epsilon}\right) com \epsilon=0{,}622, obtém‑se resultado semelhante (confirmação numérica).
Portanto o volume específico do ar úmido (por kg de ar seco) é v\approx 0{,}919\\ \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}}.

Passo 6

Resumo breve dos resultados intermediários e confirmação de plausibilidade:
  • Pressão parcial do vapor a partir do ponto de orvalho: e\approx 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura do ar (a partir de \varphi e e): T\approx 28{,}44^{\circ}\mathrm{C}.
  • Umidade absoluta: \omega\approx 0{,}01546\\ \mathrm{kg/kg}=15{,}46\\ \mathrm{g/kg}.
  • Volume específico por kg de ar seco: v\approx 0{,}919\\ \mathrm{m^3/kg_{ar\\ seco}}.
Força aí — estamos quase lá! Esses passos são exatamente o que você pode reproduzir na prova: (1) obter e do ponto de orvalho, (2) usar \omega=\epsilon e/(P-e), (3) obter T a partir da umidade relativa se precisar, (4) calcular v pela fórmula da mistura.

Resposta

(a) \omega=0{,}01546\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco} =\\\ 15{,}46\\ \mathrm{g/kg}
(b) v=0{,}919\\ \mathrm{m^{3}/kg_{ar\\ seco}}

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