Uma usina de açúcar usa o bagaço da cana como combustível em uma caldeira, gerando 4000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de vapor a 20 atm e 600^{\circ} \mathrm{C}. O engenheiro da usina propõe comprar uma turbina para gerar energia elétrica a partir da expansão do vapor até a pressão atmosférica.
Calcule a taxa de geração de energia para:
a) uma turbina operando adiabática e isentropicamente.
b) uma turbina operando adiabaticamente com eficiência de 90%.
c) calcule a taxa de geração de entropia em ambas as turbinas.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Peguei tudo do enunciado, sem supor nada além disso.
  • Dados fornecidos:
    • Taxa de vapor produzida: 4000\\ \mathrm{kg/h}.
    • Estado inicial do vapor (antes da turbina): pressão 20\\ \mathrm{atm} e temperatura 600^\circ\mathrm{C}.
    • Expansão até a pressão final: 1\\ \mathrm{atm} (pressão atmosférica).
    • A proposta é instalar uma turbina que opere:
      • (a) adiabaticamente e isentropicamente;
      • (b) adiabaticamente com eficiência da turbina igual a 90\% (ou seja, \,90\% de eficiência isentrópica);
    • Também é pedido: (c) taxa de geração de entropia em ambas as turbinas.
  • O que se pede:
    • (a) calcular a potência gerada (taxa de geração de energia) por uma turbina ideal (adiabática e isentrópica).
    • (b) calcular a potência gerada por uma turbina adiabática com eficiência isentrópica de 90\%.
    • (c) calcular a taxa de geração de entropia para os dois casos (turbina isentrópica e turbina real com 90\%).

Passo 2

Primeiro convém transformar unidades e explicar as propriedades termodinâmicas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Conversão da vazão mássica:
    \dot{m}=\frac{4000\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}}= \frac{4000}{3600}\\ \mathrm{kg/s}=1{,}111111\\ \mathrm{kg/s}.
    Explico: em máquinas de fluxo estacionário (turbina), a taxa de trabalho é dada por \dot{W}=\dot{m}(h_1-h_2), onde h é a entalpia específica do vapor (energia por massa associada ao fluxo de entalpia).
  • O que significa cada grandeza:
    • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s).
    • h é a entalpia específica (kJ/kg). Em turbinas de vapor, a energia útil retirada por kg de vapor é a queda de entalpia entre entrada e saída: w = h_1 - h_2.
    • s é a entropia específica (kJ/kg·K). Em processo isentrópico ideal, s_2 = s_1.
    • Para vapor real, usa-se tabelas termodinâmicas (tabelas de vapor saturado e superaquecido) para obter h e s nos estados conhecidos.

Passo 3

Obtenção dos dados termodinâmicos (peguei estes valores em tabelas padrão de vapor - tabelas de vapor superaquecido para P=20\\ \mathrm{atm} e T=600^\circ\mathrm{C}, e tabelas saturadas para P=1\\ \mathrm{atm}). Vou listar os valores numéricos que usei (estes números vêm das tabelas):
  • No estado 1 (entrada): P_1=20\\ \mathrm{atm}, T_1=600^\circ\mathrm{C}.
    • Peguei nas tabelas: h_1 = 3657{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Peguei nas tabelas: s_1 = 6{,}645\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • No estado à pressão de saída P_2 = 1\\ \mathrm{atm} (saturado), propriedades:
    • Entalpia do líquido saturado: h_f = 417{,}46\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Entalpia de vaporização: h_{fg} = 2257{,}10\\ \mathrm{kJ/kg}. (Logo h_g = h_f + h_{fg} seria cerca de 2674{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.)
    • Entropia do líquido saturado: s_f = 1{,}307\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Entropia de vaporização: s_{fg} = 6{,}0519\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. (Logo s_g = s_f + s_{fg}\approx 7{,}359\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.)
Comentário didático: quando expandimos a vapor superaquecido até 1 atm, a saída pode ficar na região bifásica (mistura líquido‑vapor). Para um processo isentrópico usamos s_2 = s_1 e, se s_1 estiver entre s_f e s_g em 1 atm, calculamos a qualidade x (fração mássica de vapor) por
x=\frac{s_2 - s_f}{s_{fg}}.
Com x podemos obter h_2=h_f + x\,h_{fg}.

Passo 4

Cálculo do estado final na expansão isentrópica (a turbina ideal adiabática e isentrópica).
  • Igualdade de entropias: para a expansão isentrópica s_{2s}=s_1=6{,}645\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Determinar a qualidade na saída (em P_2=1\\ \mathrm{atm}):
    x_s=\frac{s_{2s}-s_f}{s_{fg}}=\frac{6{,}645-1{,}307}{6{,}0519}=\frac{5{,}338}{6{,}0519}=0{,}8822\\ (\text{adimensional}).
    Explicação: x_s é a fração mássica de vapor na saída — x_s entre 0 e 1 indica mistura líquido‑vapor.
  • Entalpia na saída isentrópica:
    h_{2s}=h_f + x_s\,h_{fg}=417{,}46 + 0{,}8822\cdot2257{,}10 = 2409{,}19\\ \mathrm{kJ/kg}.
    (Mostrei como multiplicar a fração de vapor pelo calor latente e somar ao líquido saturado.)
  • Trabalho específico disponível (por kg) na turbina isentrópica:
    w_{s}=h_1-h_{2s}=3657{,}5 - 2409{,}19 = 1248{,}31\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Potência gerada (taxa de geração de energia) na turbina isentrópica:
    \dot{W}_{s}=\dot{m}\,w_{s}=1{,}111111\cdot1248{,}31 = 1387{,}02\\ \mathrm{kW}.
    Observação prática: isso equivale a aproximadamente 1{,}387\\ \mathrm{MW}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (didática):
  • Fiz a conta da potência multiplicando energia por massa pela vazão. Esse é o procedimento padrão sem calor ou trabalho de fluxo adicional.
  • Em prova, se não houver tabelas, normalmente é pedido o procedimento; com tabelas, plugue h_1, determine h_{2s} via s_{2s}=s_1 e calcule \dot{W}=\dot{m}(h_1-h_{2s}).

Passo 6

Cálculo para a turbina real adiabática com eficiência isentrópica \eta_t=90\% (explico o conceito e depois aplico).
  • Definição didática da eficiência isentrópica de turbina:
    \eta_t=\frac{h_1-h_{2a}}{h_1-h_{2s}},
    onde h_{2a} é a entalpia real na saída (caso real), e h_{2s} é a entalpia de saída do processo isentrópico ideal. A eficiência mede a fração do trabalho ideal que a turbina realmente entrega.
  • Isolando h_{2a}:
    h_{2a}=h_1 - \eta_t\,(h_1-h_{2s}).
  • Substituindo números ( \eta_t=0{,}90):
    h_{2a}=3657{,}5 - 0{,}90\cdot1248{,}31 = 3657{,}5 - 1123{,}48 = 2534{,}02\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho específico real (por kg):
    w_a = h_1 - h_{2a} = 3657{,}5 - 2534{,}02 = 1123{,}48\\ \mathrm{kJ/kg}.
    Observação: w_a = \eta_t\cdot w_s, portanto a potência real é 0{,}9 vezes a potência ideal.
  • Potência gerada real:
    \dot{W}_a = \dot{m}\,w_a = 1{,}111111\cdot1123{,}48 = 1248{,}32\\ \mathrm{kW}.
    (Isto é, cerca de 1{,}248\\ \mathrm{MW}.)

Passo 7

Determinar a saída real na pressão de 1 atm (qualidade, entropia) para calcular a geração de entropia.
  • Calcular a qualidade na saída real:
    x_a=\frac{h_{2a}-h_f}{h_{fg}}=\frac{2534{,}02-417{,}46}{2257{,}10}=\frac{2116{,}56}{2257{,}10}=0{,}9379.
  • Entropia específica na saída real:
    s_{2a}=s_f + x_a\,s_{fg}=1{,}307 + 0{,}9379\cdot6{,}0519 = 6{,}9801\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Observação didática: s_{2a}>s_1 porque o processo real produz irreversibilidades internas (atrito, perdas), e para uma turbina adiabática a entropia do gás sai maior que a de entrada. Em uma turbina ideal isentrópica s_{2s}=s_1.

Passo 8

Cálculo da taxa de geração de entropia em ambos os casos (a turbina isentrópica ideal e a turbina real de 90\%).
  • Balanço de entropia para controle de volume em regime estacionário, sem transferência de calor (adiabático):
    \dot{S}_{gen} = \dot{m}\,(s_{out}-s_{in}).
    Explicação: sem calor trocado com o ambiente, toda a variação de entropia do fluxo é gerada por irreversibilidades, logo a geração de entropia por segundo é \dot{m} vezes a diferença de entropia que o fluido apresenta entre saída e entrada.
  • Caso (a) turbina isentrópica:
    s_{2s}=s_1 \quad\Rightarrow\quad \dot{S}_{gen,s} = \dot{m}(s_{2s}-s_1)=0.
    Comentário: turbine ideal não gera entropia internamente (processo reversível).
  • Caso (b) turbina real ( \eta_t=0{,}90):
    \dot{S}_{gen,a}=\dot{m}(s_{2a}-s_1)=1{,}111111\cdot(6{,}9801-6{,}645)=1{,}111111\cdot0{,}3351 = 0{,}3723\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}.
    Converter unidades: 1\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}=1\\ \mathrm{kW/K}, logo
    \dot{S}_{gen,a}=0{,}3723\\ \mathrm{kW/K} \approx 372{,}3\\ \mathrm{W/K}.
    Interpretação: essa é a taxa com que a entropia é gerada dentro da turbina real (medida em kJ/s·K).

Passo 9

Resumo numérico e checagens (ajuda para a prova):
  • Potência isentrópica \dot{W}_s = \dot{m}(h_1-h_{2s}) e \dot{W}_a = \eta_t \dot{W}_s.
  • Geração de entropia nula no caso ideal e positiva no caso real, calculada por \dot{m}(s_{out}-s_{in}).
  • Todas as contas apresentam coerência: \dot{W}_a = 0{,}9\cdot\dot{W}_s e \dot{S}_{gen,a}>0.

Resposta

(a) \dot{W}_{\text{isentrópica}} = 1387{,}02\\ \mathrm{kW} \approx 1{,}387\\ \mathrm{MW}ó
(b) \dot{W}_{\text{real},\,\eta=90\%} = 1248{,}32\\ \mathrm{kW} \approx 1{,}248\\ \mathrm{MW}
(c) \dot{S}_{gen,\text{isentrópica}} = 0\\ \mathrm{kW/K}ó
\dot{S}_{gen,\text{real},\,\eta=90\%} = 0{,}3723\\ \mathrm{kW/K} \approx 372{,}3\\ \mathrm{W/K}

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