Uma câmara frigorífica deve levar 10 kg de frango de 10 a -18^{\circ} \mathrm{C}, para posterior estocagem. A câmara funciona com um sistema de compressão de amônia, que opera com temperaturas de evaporação e condensação de -40^{\circ} \mathrm{C} e 40^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. As perdas de calor através das paredes da câmara são de 30 \% do total removido na evaporação da amônia.
a) Calcule a massa de amônia que deve circular.
b) Faça um gráfico do COP do ciclo em função da eficiência do compressor.
Seguem alguns dados:
Porcentagem de água no frango: 66%
Entalpia de fusão da água: 334,4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}
\mathrm{C}_{\mathrm{P}} (frango acima do ponto de fusão) =3,31 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}
\mathrm{C}_{\mathrm{p}} (frango abaixo do ponto de fusão) =1,55 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}
\mathrm{COP}=\mathrm{Q}_{\text {Evap }} / \mathrm{W}_{\text {Comp }}

Passo 1

O que o problema pede
  • (a) Calcular a massa de amônia que deve circular para levar 10\\ \mathrm{kg} de frango de 10^\circ\mathrm{C} a -18^\circ\mathrm{C}, sabendo que as perdas pela parede correspondem a 30\% do total removido na evaporação da amônia.
  • (b) Fazer um gráfico (ou função) do \mathrm{COP} do ciclo em função da eficiência do compressor.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado)
  • Massa total do frango: m_{\text{frango}}=10\\ \mathrm{kg}.
  • Fração de água no frango: 66\%\Rightarrow m_{\text{água}}=0,66\cdot10=6,6\\ \mathrm{kg}á.
  • Entalpia de fusão da água: \Delta H_f = 334{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor específico do frango acima de 0^\circ\mathrm{C}: C_{p}^{\text{acima}}=3{,}31\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Calor específico do frango abaixo de 0^\circ\mathrm{C}: C_{p}^{\text{abaixo}}=1{,}55\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Temperaturas do processo: de 10^\circ\mathrm{C} até -18^\circ\mathrm{C}.
  • Temperaturas do ciclo de amônia: evaporação a -40^\circ\mathrm{C} e condensação a 40^\circ\mathrm{C}.
  • Perdas de calor pelas paredes: 30\% do total removido na evaporação.
  • Definição de \mathrm{COP}: \mathrm{COP}=\dfrac{Q_{\text{Evap}}}{W_{\text{Comp}}}.
Observação importante (não pedida, mas necessária): o enunciado não fornece a entalpia de vaporização do refrigerante (amônia) na evaporação a -40^\circ\mathrm{C}. Para relacionar energia removida no evaporador com massa de amônia, é preciso essa entalpia. Vou:
  • apresentar a fórmula geral para calcular a massa de amônia,
  • escolher uma referência típica para a entalpia de vaporização da amônia e calcular um valor numérico, e
  • mostrar como o resultado muda se outro valor for usado. Vou explicitar a suposição.

Passo 2

Plano de resolução e conceitos que vou usar (aula rápida)
  • Dividir a remoção de calor do frango em três etapas:
    1. Resfriamento sensível de 10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} usando C_{p}^{\text{acima}}.
    2. Congelamento da água presente: calor latente \Delta H_f multiplicado pela massa de água.
    3. Resfriamento sensível de 0^\circ\mathrm{C} até -18^\circ\mathrm{C} usando C_{p}^{\text{abaixo}}.
  • Somar essas três quantidades para obter a energia total útil retirada do frango, Q_{\text{produto}}.
  • Considerar as perdas: se as perdas nas paredes são 30\% do total removido na evaporação, então Q_{\text{produto}} = Q_{\text{Evap}} - 0{,}30\,Q_{\text{Evap}} = 0{,}70\,Q_{\text{Evap}}.Isolando, Q_{\text{Evap}} = \dfrac{Q_{\text{produto}}}{0{,}70}.Explicação: Q_{\text{Evap}} é o calor que o refrigerante deve absorver no evaporador; parte disso resfria o frango ( Q_{\text{produto}}) e parte (30%) vai por perdas.
  • Para achar a massa de amônia m_{\mathrm{NH}_3} necessária, usar a relação m_{\mathrm{NH}_3}=\dfrac{Q_{\text{Evap}}}{h_{\text{fg, NH}_3}},onde h_{\text{fg, NH}_3} é a entalpia de vaporização (calor latente) da amônia à pressão de evaporação correspondente a -40^\circ\mathrm{C}.
  • Sobre o \mathrm{COP}: não foram passadas propriedades detalhadas do refrigerante, apenas as temperaturas de evaporação e condensação. Uma referência prática e simples é usar o \mathrm{COP} ideal de Carnot para refrigeração como limite superior: \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\dfrac{T_{\text{frio}}}{T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}},com temperaturas em Kelvin. Aqui T_{\text{frio}}=-40^\circ\mathrm{C}=233{,}15\\ \mathrm{K} e T_{\text{quente}}=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Para relacionar \mathrm{COP} com a eficiência do compressor \eta (isentropicidade do compressor), adotarei uma aproximação didática e usual em exercícios: considerar que o trabalho real do compressor é maior que o trabalho ideal por um fator 1/\eta, aproximando que a única irreversibilidade relevante que aumenta o trabalho é a eficiência do compressor. Assim: \mathrm{COP}_{\text{real}}(\eta)\approx \eta\cdot\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}.Observação: esta é uma aproximação simplificadora (aceitável para ter uma curva qualitativa). Vou explicar e exemplificar.

Passo 3

Cálculo detalhado da energia total a ser removida do frango (passo a passo)
  • Resfriamento de 10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}: Q_1 = m_{\text{frango}}\;C_{p}^{\text{acima}}\;\Delta T
Q_1 = 10\cdot 3{,}31 \cdot (10-0)\\ \mathrm{kJ}
Q_1 = 10\cdot 3{,}31 \cdot 10 = 331{,}0\\ \mathrm{kJ}.
Explicação: C_p em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} multiplicado por massa e variação de temperatura (em K) dá energia em kJ.
  • Congelamento (só a água congela): Q_2 = m_{\text{água}}\;\Delta H_f = 6{,}6\cdot 334{,}4\\ \mathrm{kJ}á
Q_2 = 2207{,}04\\ \mathrm{kJ}.
Explicação: calor latente em \mathrm{kJ/kg} multiplicado pela massa de água dá energia necessária para mudar de estado (líquido → sólido) sem variação de temperatura.
  • Resfriamento de 0^\circ\mathrm{C} até -18^\circ\mathrm{C}: Q_3 = m_{\text{frango}}\;C_{p}^{\text{abaixo}}\;\Delta T
Q_3 = 10\cdot 1{,}55 \cdot (0-(-18))\\ \mathrm{kJ}
Q_3 = 10\cdot 1{,}55 \cdot 18 = 279{,}0\\ \mathrm{kJ}.
  • Energia total retirada do frango: Q_{\text{produto}} = Q_1 + Q_2 + Q_3
Q_{\text{produto}} = 331{,}0 + 2207{,}04 + 279{,}0 = 2817{,}04\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: isto é a energia que efetivamente precisa ser retirada do produto (frango).

Passo 4

Calcular Q_{\text{Evap}} considerando as perdas de 30%
  • Como explicado, Q_{\text{produto}}=0{,}70\,Q_{\text{Evap}}. Então Q_{\text{Evap}}=\dfrac{Q_{\text{produto}}}{0{,}70}
Q_{\text{Evap}}=\dfrac{2817{,}04}{0{,}70}=4024{,}342857\\ \mathrm{kJ}\approx 4024{,}34\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: o evaporador precisa absorver aproximadamente 4024{,}34\\ \mathrm{kJ} do fluido refrigerante para cobrir o resfriamento do produto mais as perdas.

Passo 5

Calcular a massa de amônia necessária (aqui entra a propriedade faltante: entalpia de vaporização)
  • Relação básica:
    m_{\mathrm{NH}_3}=\dfrac{Q_{\text{Evap}}}{h_{\text{fg, NH}_3}},
    onde h_{\text{fg, NH}_3} é o calor latente de vaporização da amônia à temperatura de evaporação (a -40^\circ\mathrm{C} neste caso).
  • O enunciado não fornece h_{\text{fg, NH}_3}. Vou adotar um valor típico de referência para amônia saturada próximo de -40^\circ\mathrm{C}. Uma referência usual em problemas didáticos é tomar h_{\text{fg, NH}_3}\approx 1370\\ \mathrm{kJ/kg}. (Obs.: dependendo da fonte o valor pode variar entre ≈ 1300 e 1500\\ \mathrm{kJ/kg}; mais tarde dou um pequeno estudo de sensibilidade.)
  • Usando h_{\text{fg, NH}_3}=1370\\ \mathrm{kJ/kg}:
    m_{\mathrm{NH}_3}=\dfrac{4024{,}34}{1370}=2{,}9379\\ \mathrm{kg}\approx 2{,}94\\ \mathrm{kg}.
  • Interpretação: com a suposição acima, cerca de 2{,}94\\ \mathrm{kg} de amônia precisam evaporar para remover a energia necessária (em regime de uma “carga” de resfriamento total).
  • Estudo rápido de sensibilidade (para ver quão dependente é o resultado do valor adotado de h_{\text{fg}}):
    • Se h_{\text{fg}}=1400\\ \mathrm{kJ/kg}\Rightarrow m=4024{,}34/1400=2{,}87\\ \mathrm{kg}.
    • Se h_{\text{fg}}=1470\\ \mathrm{kJ/kg}\Rightarrow m=4024{,}34/1470=2{,}74\\ \mathrm{kg}.
      Assim, variações moderadas em h_{\text{fg}} mudam m algumas décimas de kg; a ordem de grandeza (~ 2{,}7 3{,}0\\ \mathrm{kg}) é robusta.

Passo 6

Cálculo do \mathrm{COP} em função da eficiência do compressor — conceito e números
  • Primeiro, \mathrm{COP} de Carnot (limite ideal para um refrigerador entre as temperaturas de evaporação e condensação):
    \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\dfrac{T_{\text{frio}}}{T_{\text{quente}}-T_{\text{frio}}},
    com temperaturas em Kelvin:
    T_{\text{frio}}=-40^\circ\mathrm{C}=233{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{quente}}=40^\circ\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K}.
    Logo
    \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\dfrac{233{,}15}{313{,}15-233{,}15}=\dfrac{233{,}15}{80}=2{,}914375\approx 2{,}914.
    Explicação: esse valor é o limite superior inatingível para qualquer ciclo entre essas duas temperaturas.
  • Relação com a eficiência do compressor \eta (aproximação didática):
    • Se o compressor fosse ideal (isentrópico), conseguiríamos o menor trabalho teórico W_{\min} e, consequentemente, o \mathrm{COP}_{\text{ideal}} próximo de \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} (ainda que um ciclo de compressão real não seja Carnot; esta é uma aproximação para obter dependência qualitativa).
    • Se a eficiência isentrópica do compressor for \eta (com 0<\eta\le 1), um modelo simples é: W_{\text{real}}\approx \dfrac{W_{\min}}{\eta}\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{COP}_{\text{real}}\approx \dfrac{Q_{\text{Evap}}}{W_{\text{real}}} \approx \eta\cdot \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}.
    • Portanto, a expressão usada para o gráfico será \boxed{\mathrm{COP}(\eta)=\eta\cdot 2{,}914375\approx \eta\cdot 2{,}914.}Observação: isto dá uma relação linear entre \mathrm{COP} e \eta. É uma aproximação útil para visualizar o efeito da eficiência do compressor sobre o desempenho global.

Passo 7

Como fazer o gráfico pedido (orientação prática) e pontos de referência
  • O gráfico de \mathrm{COP} em função de \eta é uma linha reta passando pela origem com inclinação 2{,}914375.
  • Para traçar: escolha no eixo horizontal \eta de 0 até 1 (ou até, digamos, 0{,}9 para valores práticos) e no eixo vertical \mathrm{COP} de 0 até 3{,}0.
  • Alguns pontos numéricos (colocar \eta em forma decimal e \mathrm{COP} correspondente): \begin{array}{c|c} \eta & \mathrm{COP}(\eta)=\eta\cdot 2{,}914375\\hline 0{,}0 & 0{,}000\\\\ 0{,}2 & 0{,}583\\\\ 0{,}4 & 1{,}166\\\\ 0{,}6 & 1{,}748\\\\ 0{,}7 & 2{,}040\\\\ 0{,}8 & 2{,}331\\\\ 0{,}9 & 2{,}623\\\\ 1{,}0 & 2{,}914 \end{array}
  • Interpretação prática: se o compressor tiver eficiência isentrópica de 70\% ( \eta=0{,}7), o \mathrm{COP} estimado por esta aproximação será \approx 2{,}04. Quanto maior a eficiência, maior o \mathrm{COP} linearmente.

Resposta

(a) m_{\mathrm{NH}_3}\approx 2{,}94\\ \mathrm{kg} (usando h_{\text{fg,NH}_3}=1370\\ \mathrm{kJ/kg}).
(b) \displaystyle \mathrm{COP}(\eta)=\eta\cdot 2{,}914375\approx \eta\cdot 2{,}914.

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