Uma câmera de efusão de 2 L tem um orifício circular de 3 mm de diâmetro. Essa câmera encontra-se fechada, preenchida com
do gás
(raio é
e
do gás
à temperatura de
. Baseado nesses dados responda:
a) Calcule velocidade média quadrática dos gases nestas condições;
b) Calcule a pressão de cada gás nestas condições;
c) Calcule a velocidade relativa média desses gases;
d) percurso médio das moléculas de
;
e) Calcule a frequência de colisão desse gás;
f) A perda de massa do gás metano
, quando o orifício é aberto durante o intervalo de tempo de 5 minutos.
a) Calcule velocidade média quadrática dos gases nestas condições;
b) Calcule a pressão de cada gás nestas condições;
c) Calcule a velocidade relativa média desses gases;
d) percurso médio das moléculas de
e) Calcule a frequência de colisão desse gás;
f) A perda de massa do gás metano
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que foram fornecidos (peguei tudo do enunciado):
- Volume da câmara:
. - Diâmetro do orifício:
. Logo área do orifício:
- Concentrações fornecidas (mol por decímetro cúbico, isto é mol/L):
-
. -
.
(vou converter paraquando for necessário.)
-
- Temperatura:
. - Raio (da partícula) dado:
. Vou usar isso para a seção eficaz de colisão. - Constantes que vou usar:
- Constante universal dos gases
. - Número de Avogadro
.
- Constante universal dos gases
- Massas molares (convertidas para
): -
. -
.
-
Perguntas a responder:
a) calcular velocidade média quadrática (velocidade RMS) de e
em
;\n
b) calcular a pressão parcial de cada gás nas condições dadas;\n
c) calcular a velocidade relativa média entre as moléculas dos dois gases;\n
d) calcular o percurso médio (mean free path) das moléculas de ;\n
e) calcular a frequência de colisão do (por molécula);\n
f) calcular a perda de massa do quando o orifício é aberto durante
minutos.
a) calcular velocidade média quadrática (velocidade RMS) de
b) calcular a pressão parcial de cada gás nas condições dadas;\n
c) calcular a velocidade relativa média entre as moléculas dos dois gases;\n
d) calcular o percurso médio (mean free path) das moléculas de
e) calcular a frequência de colisão do
f) calcular a perda de massa do
Passo 2
(a) Velocidade média quadrática (velocidade RMS). Conceito e fórmula:
- A velocidade RMS
mede a típica velocidade térmica das moléculas e, para um gás ideal, vale
onde
é a constante dos gases,
a temperatura absoluta e
a massa molar em
.
Explicando cada termo: é proporcional à energia térmica por mol; dividir por
converte para unidade de energia por massa; a raiz dá velocidade.
Explicando cada termo:
Cálculo para
:
Cálculo para
:
Passo 3
(b) Pressão de cada gás. Conceito e fórmula:
- A lei dos gases ideais em termos de concentração molar
(mol por metro cúbico) dá
onde
é concentração em
.
Primeiro converter as concentrações de
para
:
Logo
Agora calcular pressões:
Observação rápida: essas pressões são baixas (ordem de centenas a milhares de pascal).
Passo 4
(c) Velocidade relativa média entre moléculas de espécies diferentes. Conceito:
- Para duas distribuições de velocidades independentes (espécies 1 e 2), o valor RMS da velocidade relativa é
Isto vem do soma de variâncias das componentes de velocidade (as velocidades são ortogonais estatisticamente).
Aplicando aos valores encontrados:
Passo 5
(d) Percurso médio (mean free path) das moléculas de
. Conceito e fórmula:
- Para um gás de partículas com seção de colisão
e densidade de partículas (partículas por ), a média entre colisões é
Explicação dos termos:
é a seção eficaz de colisão (área efetiva para dois corpos se chocarem); o fator
aparece porque consideramos movimentos relativos aleatórios.
Cálculo da seção de colisão:
- Se foi dado o raio
da molécula, o diâmetro de colisão entre duas moléculas idênticas é e
Com
:
Cálculo da densidade de partículas
(partículas por
):
Agora a média livre:
Interpretação rápida: em pressões tão baixas a distância entre colisões é da ordem de dezenas de micrômetros — bastante maior que em condições normais de pressão.
Passo 6
(e) Frequência de colisão do
(por molécula). Conceito e passos:
- A taxa de colisão por molécula
pode ser obtida por
onde agora
é a velocidade relativa média entre duas moléculas de
. Para duas partículas idênticas a velocidade relativa média é
onde
é a velocidade média (mean speed), dada por
Explicando:
é a média em módulo da velocidade, diferente do
, e a relação com a velocidade relativa surge da estatística das diferenças de velocidades.
Calcule
para
:
Então
Agora a frequência de colisão por molécula:
Interpretação: cada molécula de
sofre da ordem de
colisões por segundo nas condições dadas.
Passo 7
(f) Perda de massa do
quando o orifício é aberto durante
minutos. Método e explicação didática:
- Para efusão através de um buraco pequeno para o vácuo, o fluxo (número de moléculas que atravessam por unidade de área e tempo) para um gás com densidade de partículas
e velocidade média é (resultado padrão da teoria cinética)
- O número de moléculas por segundo que saem é
. Para um reservatório finito (aqui volume ), a concentração diminui com o tempo, e a equação diferencial para o número de mols é
pois
(em molaridade usar
em mol; a fórmula funciona de forma análoga com moles). Essa EDO é linear e tem solução exponencial:
- A constante de tempo é
. Se , o gás praticamente esvazia.
Agora dados numéricos para
:
- Converter concentração para mol por
:
- Número inicial de mols na câmara:
- Massa inicial de
:
Calcular
de
(velocidade média):
Área do orifício:
Constante
e tempo característico
:
Observação:
é muito pequeno comparado a
minutos
. Portanto
e o número de mols remanescente após
é
ou seja, desprezível. Conclusão prática: após
minutos praticamente todo o
que havia na câmara foi perdido por efusão.
Logo a perda de massa em
é essencialmente a massa inicial
:
(Se insistirmos em dar a solução exata pela exponencial, a massa perdida é
, que numericamente é praticamente
porque
é extraordinariamente pequeno.)
Resposta
a)
\n
b) \n
c) \n
d) \n
e) \n
f) (praticamente toda a massa inicial na câmara).
b)
c)
d)
e)
f)