Uma câmera de efusão de 2 L tem um orifício circular de 3 mm de diâmetro. Essa câmera encontra-se fechada, preenchida com 5 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3} do gás \mathrm{H}_{2} (raio é 260 \mathrm{pm}) e 1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3} do gás \mathrm{CH}_{4} à temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}. Baseado nesses dados responda:
a) Calcule velocidade média quadrática dos gases nestas condições;
b) Calcule a pressão de cada gás nestas condições;
c) Calcule a velocidade relativa média desses gases;
d) percurso médio das moléculas de \mathrm{H}_{2};
e) Calcule a frequência de colisão desse gás;
f) A perda de massa do gás metano \mathrm{CH}_{4}, quando o orifício é aberto durante o intervalo de tempo de 5 minutos.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que foram fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Volume da câmara: V=2{,}0\\ \mathrm{L}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Diâmetro do orifício: D=3{,}0\\ \mathrm{mm}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Logo área do orifício:
A=\pi\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}=\pi(1{,}5\times10^{-3})^{2}.
  • Concentrações fornecidas (mol por decímetro cúbico, isto é mol/L):
    • \displaystyle c_{\mathrm{H}_2}=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}}.
    • \displaystyle c_{\mathrm{CH}_4}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}}.
      (vou converter para \mathrm{mol\;m^{-3}} quando for necessário.)
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Raio (da partícula) dado: r=260\\ \mathrm{pm}=2{,}60\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Vou usar isso para a seção eficaz de colisão.
  • Constantes que vou usar:
    • Constante universal dos gases R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
    • Número de Avogadro N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Massas molares (convertidas para \mathrm{kg\;mol^{-1}}):
    • \mathrm{H_2}:\\ M_{\mathrm{H}_2}=2{,}016\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}=2{,}016\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
    • \mathrm{CH_4}:\\ M_{\mathrm{CH}_4}=16{,}04\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}=16{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
Perguntas a responder:
a) calcular velocidade média quadrática (velocidade RMS) de \mathrm{H_2} e \mathrm{CH_4} em T=298{,}15\\ \mathrm{K};\n
b) calcular a pressão parcial de cada gás nas condições dadas;\n
c) calcular a velocidade relativa média entre as moléculas dos dois gases;\n
d) calcular o percurso médio (mean free path) das moléculas de \mathrm{H_2};\n
e) calcular a frequência de colisão do \mathrm{H_2} (por molécula);\n
f) calcular a perda de massa do \mathrm{CH_4} quando o orifício é aberto durante 5 minutos.

Passo 2

(a) Velocidade média quadrática (velocidade RMS). Conceito e fórmula:
  • A velocidade RMS \,v_{\mathrm{rms}} mede a típica velocidade térmica das moléculas e, para um gás ideal, vale
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
onde R é a constante dos gases, T a temperatura absoluta e M a massa molar em \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
Explicando cada termo: 3RT é proporcional à energia térmica por mol; dividir por M converte para unidade de energia por massa; a raiz dá velocidade.
Cálculo para \mathrm{H_2}:
v_{\mathrm{rms,H_2}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot 8{,}314462618\cdot 298{,}15}{2{,}016\times10^{-3}}} =\sqrt{3{,}686{,}218{,}3}\\ \mathrm{m\;s^{-1}} \approx 1{,}920{,}5\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.
Cálculo para \mathrm{CH_4}:
v_{\mathrm{rms,CH_4}}=\sqrt{\dfrac{3\cdot 8{,}314462618\cdot 298{,}15}{16{,}04\times10^{-3}}} =\sqrt{463{,}668{,}6}\\ \mathrm{m\;s^{-1}} \approx 681{,}0\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.

Passo 3

(b) Pressão de cada gás. Conceito e fórmula:
  • A lei dos gases ideais em termos de concentração molar c (mol por metro cúbico) dá
p = c\,R\,T,
onde c é concentração em \mathrm{mol\;m^{-3}}.
Primeiro converter as concentrações de \mathrm{mol\;dm^{-3}} para \mathrm{mol\;m^{-3}}:
1\\ \mathrm{dm^{3}}=1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\Rightarrow \text{multiplicar por }1000.
Logo
c_{\mathrm{H}_2}=5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}}=5{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;m^{-3}},
c_{\mathrm{CH}_4}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}}=1{,}0\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}.
Agora calcular pressões:
p_{\mathrm{H}_2}=c_{\mathrm{H}_2}RT=0{,}05\cdot 8{,}314462618\cdot298{,}15 \approx 123{,}95\\ \mathrm{Pa}\approx 1{,}24\times10^{2}\\ \mathrm{Pa}.
p_{\mathrm{CH}_4}=1{,}0\cdot 8{,}314462618\cdot298{,}15 \approx 2{,}478{,}96\\ \mathrm{Pa}\approx 2{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Observação rápida: essas pressões são baixas (ordem de centenas a milhares de pascal).

Passo 4

(c) Velocidade relativa média entre moléculas de espécies diferentes. Conceito:
  • Para duas distribuições de velocidades independentes (espécies 1 e 2), o valor RMS da velocidade relativa é
\bar{v}_{\mathrm{rel}}=\sqrt{v_{\mathrm{rms},1}^{2}+v_{\mathrm{rms},2}^{2}}.
Isto vem do soma de variâncias das componentes de velocidade (as velocidades são ortogonais estatisticamente).
Aplicando aos valores encontrados:
\bar{v}_{\mathrm{rel}}=\sqrt{(1{,}920{,}5)^{2}+(681{,}0)^{2}}\\ \mathrm{m\;s^{-1}} \approx 2{,}037{,}2\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.

Passo 5

(d) Percurso médio (mean free path) das moléculas de \mathrm{H_2}. Conceito e fórmula:
  • Para um gás de partículas com seção de colisão \sigma e densidade de partículas n (partículas por \mathrm{m^{3}}), a média entre colisões é
\lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma}.
Explicação dos termos: \sigma é a seção eficaz de colisão (área efetiva para dois corpos se chocarem); o fator \sqrt{2} aparece porque consideramos movimentos relativos aleatórios.
Cálculo da seção de colisão:
  • Se foi dado o raio r da molécula, o diâmetro de colisão entre duas moléculas idênticas é d=2r e
\sigma=\pi d^{2}=\pi(2r)^{2}=4\pi r^{2}.
Com r=2{,}60\times10^{-10}\\ \mathrm{m}:
\sigma=\pi(5{,}20\times10^{-10})^{2}\approx 8{,}497\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
Cálculo da densidade de partículas n (partículas por \mathrm{m^{3}}):
n=c_{\mathrm{H}_2}\,N_A=0{,}05\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}\times 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} \approx 3{,}01107\times10^{22}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Agora a média livre:
\lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}\cdot 3{,}01107\times10^{22}\cdot 8{,}497\times10^{-19}} \approx 2{,}764\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=27{,}6\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação rápida: em pressões tão baixas a distância entre colisões é da ordem de dezenas de micrômetros — bastante maior que em condições normais de pressão.

Passo 6

(e) Frequência de colisão do \mathrm{H_2} (por molécula). Conceito e passos:
  • A taxa de colisão por molécula z pode ser obtida por
z = n\,\sigma\,\bar{v}_{\mathrm{rel}},
onde agora \bar{v}_{\mathrm{rel}} é a velocidade relativa média entre duas moléculas de \mathrm{H_2}. Para duas partículas idênticas a velocidade relativa média é
\bar{v}_{\mathrm{rel}}=\sqrt{2}\,\bar{v},
onde \bar{v} é a velocidade média (mean speed), dada por
\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}.
Explicando: \bar{v} é a média em módulo da velocidade, diferente do v_{\mathrm{rms}}, e a relação com a velocidade relativa surge da estatística das diferenças de velocidades.
Calcule \bar{v} para \mathrm{H_2}:
\bar{v}_{\mathrm{H_2}}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M_{\mathrm{H_2}}}} \approx 1{,}769{,}1\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.
Então
\bar{v}_{\mathrm{rel,H_2}}=\sqrt{2}\times 1{,}769{,}1\approx 2{,}503{,}7\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.
Agora a frequência de colisão por molécula:
z = n\,\sigma\,\bar{v}_{\mathrm{rel}} =3{,}01107\times10^{22}\cdot 8{,}497\times10^{-19}\cdot 2{,}503{,}7 \approx 6{,}41\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: cada molécula de \mathrm{H_2} sofre da ordem de 6\times10^{7} colisões por segundo nas condições dadas.

Passo 7

(f) Perda de massa do \mathrm{CH_4} quando o orifício é aberto durante t=5 minutos. Método e explicação didática:
  • Para efusão através de um buraco pequeno para o vácuo, o fluxo (número de moléculas que atravessam por unidade de área e tempo) para um gás com densidade de partículas n e velocidade média \bar{v} é (resultado padrão da teoria cinética)
\Phi=\dfrac{1}{4}\,n\,\bar{v}\quad\text{(moléculas m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}\text{)}.é
  • O número de moléculas por segundo que saem é \Phi\cdot A. Para um reservatório finito (aqui volume V), a concentração diminui com o tempo, e a equação diferencial para o número de mols N(t) é
\dfrac{dN}{dt}=-\dfrac{1}{4}\,\dfrac{N}{V}\,\bar{v}\,A,
pois n=N/V (em molaridade usar N em mol; a fórmula funciona de forma análoga com moles). Essa EDO é linear e tem solução exponencial:
N(t)=N_0\exp\!\Big(-k t\Big), \qquad k=\dfrac{\bar{v}A}{4V}.
  • A constante de tempo é \tau=1/k=\dfrac{4V}{\bar{v}A}. Se t\gg\tau, o gás praticamente esvazia.
Agora dados numéricos para \mathrm{CH_4}:
  • Converter concentração para mol por \mathrm{m^{3}}:
c_{\mathrm{CH_4}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;dm^{-3}}=1{,}0\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}.
  • Número inicial de mols na câmara:
N_0=c_{\mathrm{CH_4}}\cdot V = 1{,}0\\ \mathrm{mol\;m^{-3}}\times 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
  • Massa inicial de \mathrm{CH_4}:
m_0=N_0\cdot M_{\mathrm{CH_4}}=2{,}0\times10^{-3}\cdot 16{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{kg} =3{,}208\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}=0{,}03208\\ \mathrm{g}.
Calcular \bar{v} de \mathrm{CH_4} (velocidade média):
\bar{v}_{\mathrm{CH_4}}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M_{\mathrm{CH_4}}}} \approx 627{,}7\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.
Área do orifício:
A=\pi(1{,}5\times10^{-3})^{2}\approx 7{,}0686\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Constante k e tempo característico \tau:
k=\dfrac{\bar{v}A}{4V}=\dfrac{627{,}7\cdot 7{,}0686\times10^{-6}}{4\cdot 2{,}0\times10^{-3}} \approx 0{,}5549\\ \mathrm{s^{-1}},
\tau=\dfrac{1}{k}\approx 1{,}803\\ \mathrm{s}.
Observação: \tau é muito pequeno comparado a 5 minutos (300\\ \mathrm{s}). Portanto t=300\\ \mathrm{s}\gg \tau e o número de mols remanescente após 300\\ \mathrm{s} é
N(300)=N_0\exp\!\big(-300/1{,}803\big)\approx N_0\exp(-166{,}5)\approx N_0\times 5{,}3\times10^{-73},
ou seja, desprezível. Conclusão prática: após 5 minutos praticamente todo o \mathrm{CH_4} que havia na câmara foi perdido por efusão.
Logo a perda de massa em t=300\\ \mathrm{s} é essencialmente a massa inicial m_0:
\Delta m \approx m_0 = 3{,}208\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}=0{,}03208\\ \mathrm{g}.
(Se insistirmos em dar a solução exata pela exponencial, a massa perdida é m_0\big(1-e^{-300/\tau}\big), que numericamente é praticamente m_0 porque e^{-300/\tau} é extraordinariamente pequeno.)

Resposta

a) \;v_{\mathrm{rms,H_2}}\approx 1{,}92\times10^{3}\\ \mathrm{m\;s^{-1}},\quad v_{\mathrm{rms,CH_4}}\approx 6{,}81\times10^{2}\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.\n
b) \;p_{\mathrm{H_2}}\approx 1{,}24\times10^{2}\\ \mathrm{Pa},\quad p_{\mathrm{CH_4}}\approx 2{,}48\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.\n
c) \;\bar{v}_{\mathrm{rel}}\\ (\mathrm{H_2\!-\!CH_4})\approx 2{,}04\times10^{3}\\ \mathrm{m\;s^{-1}}.\n
d) \;\lambda_{\mathrm{H_2}}\approx 2{,}76\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\\ (27{,}6\\ \mu\mathrm{m}).\n
e) \;z_{\mathrm{H_2}}\\ (\text{colisões por molécula})\approx 6{,}41\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}.õé\n
f) \;\Delta m_{\mathrm{CH_4}}\approx 3{,}21\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}=0{,}0321\\ \mathrm{g} (praticamente toda a massa inicial na câmara).

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