Exercício: Responda:
a) Escreva as funções de estado P ( \underline{\underline{\mathrm{T}}, \mathrm{V}} ) e T ( \underline{\underline{\mathrm{V}, \mathrm{P}}} )
b) Escreva as diferenciais totais dT e dP para o gás ideial

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem objetivas:
  • (a) Escrever as funções de estado P em termos de (T,V) e T em termos de (V,P).
  • (b) Escrever as diferenciais totais dT e dP para o gás ideal.
Informações implícitas que usaremos (não foi necessário pedir mais nada):
  • Considera-se um gás ideal com número de mols fixo n e constante dos gases R.
  • As variáveis de estado são pressão P, temperatura T e volume V.

Passo 2

Recordando a equação de estado do gás ideal (fórmula fundamental que liga as três variáveis):
P\,V = nR\,T.
Aqui:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • T é a temperatura absoluta,
  • n é o número de mols (fixo neste problema),
  • R é a constante universal dos gases.
Esta equação permite escrever qualquer uma das três variáveis como função das outras duas.

Passo 3

Escrever P como função de T e V. Isolando P na equação do gás ideal:
P = \frac{nR\,T}{V}.
Explicação didática: tratar nR como constante (já que n e R são fixos). Assim, quando T aumenta com V fixo, P cresce proporcionalmente a T; quando V aumenta com T fixo, P diminui como 1/V.

Passo 4

Calcular a diferencial total dP a partir de P(T,V)=\dfrac{nR\,T}{V}. Lembre que, para uma função f(x,y),
df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Aqui f=P, x=T, y=V. Então primeiro as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial T}\Big|_{V} = \frac{nR}{V}, \qquad \frac{\partial P}{\partial V}\Big|_{T} = -\frac{nR\,T}{V^{2}}.
Aplicando a fórmula da diferencial total:
dP = \frac{nR}{V}\,dT - \frac{nR\,T}{V^{2}}\,dV.

Passo 5

Simplificar e escrever dP em formas alternativas úteis. Usando P=\dfrac{nR\,T}{V} podemos substituir termos:
  • Note que \dfrac{nR}{V}=\dfrac{P}{T} (porque P=\dfrac{nR\,T}{V} implica nR/V=P/T).
  • Também \dfrac{nR\,T}{V^{2}}=\dfrac{P}{V}.
Substituindo na expressão de dP:
dP = \frac{P}{T}\,dT - \frac{P}{V}\,dV.
Uma forma compacta é dividir tudo por P:
\frac{dP}{P} = \frac{dT}{T} - \frac{dV}{V}.
Isso é muito útil em exames: relaciona variações relativas (percentuais) das grandezas.

Passo 6

Agora escrever T como função de V e P. Isolando T na equação do gás ideal:
T = \frac{P\,V}{nR}.
Explicação didática: temperatura é proporcional ao produto P\,V quando o número de mols é fixo.

Passo 7

Calcular a diferencial total dT a partir de T(P,V)=\dfrac{P\,V}{nR}. Usando a fórmula da diferencial total com x=P, y=V:
Primeiro as derivadas parciais:
\frac{\partial T}{\partial P}\Big|_{V} = \frac{V}{nR}, \qquad \frac{\partial T}{\partial V}\Big|_{P} = \frac{P}{nR}.
Logo
dT = \frac{V}{nR}\,dP + \frac{P}{nR}\,dV.

Passo 8

Simplificar dT em formas alternativas usando T=\dfrac{P\,V}{nR}. Observações:
  • \dfrac{V}{nR}=\dfrac{T}{P},
  • \dfrac{P}{nR}=\dfrac{T}{V}.
Substituindo:
dT = \frac{T}{P}\,dP + \frac{T}{V}\,dV = T\!\left(\frac{dP}{P} + \frac{dV}{V}\right).
Note que esta relação é compatível com a obtida em

Passo 9

Resumo prático (dicas para prova):
  • Memorize a equação P V = nR T e as formas isoladas P=\dfrac{nR\,T}{V}, T=\dfrac{P\,V}{nR}.
  • Para diferenciais totais, aplique sempre df=\partial_x f\,dx+\partial_y f\,dy e calcule as derivadas parciais.
  • Tenha em mente as formas alternativas em termos de razões relativas ( dP/P,\\ dT/T,\\ dV/V) — elas rendem respostas rápidas quando as questões pedem variações percentuais ou lineares pequenas.
  • Força! Essas contas são mecânicas: copiar corretamente as derivadas parciais e fazer as substituições resolve a maioria das pegadinhas.

Resposta

(a) P(T,V)=\dfrac{nR\,T}{V} \quad e \quad T(V,P)=\dfrac{P\,V}{nR}
(b) dP=\dfrac{nR}{V}\,dT-\dfrac{nR\,T}{V^{2}}\,dV, que pode ser escrita como dP=\dfrac{P}{T}\,dT-\dfrac{P}{V}\,dV ou \dfrac{dP}{P}=\dfrac{dT}{T}-\dfrac{dV}{V}\n dT=\dfrac{V}{nR}\,dP+\dfrac{P}{nR}\,dV, que pode ser escrita como dT=\dfrac{T}{P}\,dP+\dfrac{T}{V}\,dV ou \dfrac{dT}{T}=\dfrac{dP}{P}+\dfrac{dV}{V}

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