Para um gás ideal, o calor específico a pressão constante será sempre maior que o calor específico a volume constante, pois c p=c v+R (ver aulas 2 e 3). Desta forma, a constante \mathrm{k}=\mathrm{cp} / \mathrm{cv}, muitas vezes utilizada como coeficiente politrópico, sempre será maior do que 1. Para coeficientes politrópicos variando de 1 a 3, mostre que o processo de compressão isotérmico é o que consome menos trabalho. Admita ar inicialmente a 1 bar e 20^{\circ} \mathrm{C}, em um cilindro de 250 \mathrm{~cm}^{3}, com taxa de compressão de 10 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Taxa de compressão (razão de volumes): \,r = \dfrac{V_1}{V_2} = 10. Logo \,V_2 = V_1/10.
O enunciado pede:
Mostrar, para coeficientes politrópicos \,n variando de \,1 a \,3, que o processo de compressão isotérmico (caso \,n=1) é o que consome menos trabalho.
Calcular o trabalho de compressão para os casos relevantes usando os dados numéricos fornecidos (vou calcular pelo menos para \,n=1 (isotérmico), \,n=1{,}4 (valor típico do ar adiabático) e \,n=3 para cobrir o extremos pedido).
Passo 2
Entender e deduzir a expressão do trabalho para um processo politrópico (aula rápida e passo a passo).
Definição do processo politrópico: numa transformação politrópica vale
P V^{n}=\text{const} \equiv C,
onde \,n é o expoente politrópico. Aqui \,P é pressão e \,V é volume.
Trabalho elementar (sinal): o trabalho realizado pelo gás ao variar o volume é
\delta W_{\text{by}}=P\,dV.
Para compressão queremos o trabalho feito sobre o gás (positivo quando comprimimos); então
W_{\text{on}} = -\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Substituindo P = C V^{-n} e integrando (caso \,n\neq1):
W_{\text{on}} = -\int_{V_1}^{V_2} C V^{-n}\,dV = -\frac{C}{1-n}\bigl[V^{\,1-n}\bigr]_{V_1}^{V_2} = \frac{C}{n-1}\left(V_2^{\,1-n}-V_1^{\,1-n}\right).
Agora escrevemos C em termos de condições iniciais: C=P_1 V_1^{n}. Substituindo:
Observação importante sobre sinais: como r>1 e n>1, temos r^{\,n-1}>1 e W_{\text{on}}>0, ou seja, trabalho positive feito sobre o gás durante a compressão.
Caso isotérmico (n=1): a integral deve ser feita separadamente. Para n=1 vale P V = \text{const} e
Mostraremos que H(n) é crescente para n>1. Ponha a=n-1>0 e escreva
H(a)=\frac{r^{a}-1}{a},\qquad a>0.
Calcule a derivada (regra do quociente):
H'(a)=\frac{a r^{a}\ln r -(r^{a}-1)}{a^{2}} =\frac{r^{a}\,(a\ln r -1)+1}{a^{2}}.
Para investigar o sinal do numerador defina x=a\ln r>0 (pois \,a>0 e \,\ln r>0 para r>1). O numerador fica
N(x)=e^{x}(x-1)+1.
Observe que N(0)=0 e
N'(x)=e^{x}x>0\quad\text{para }x>0,
portanto N(x)>0 para todo x>0. Logo H'(a)>0 para todo a>0, isto é H é estritamente crescente para a>0 (equivalente a n>1).
Conclusão: como W_{\text{on}} é proporcional a H(n) com fator positivo \,P_1V_1, segue que W_{\text{on}} cresce com n quando n>1. Portanto o valor mínimo de W_{\text{on}} no intervalo [1,3] é obtido em n=1, ou seja, o processo isotérmico consome menos trabalho do que qualquer politrópico com 1<n\le3.
(Comentário físico-intuitivo: para maiores \,n menos calor sai/entra durante a compressão, a temperatura aumenta mais e a pressão cresce mais rápido com a compressão, exigindo trabalho maior.)]
Passo 4
Cálculo numérico com os dados fornecidos (mostrando contas passo a passo).
Esses valores confirmam numericamente a propriedade já demonstrada analiticamente: 57{,}56\\ \text{J} < 94{,}49\\ \text{J} < 1\,237{,}5\\ \text{J} para n=1,\,1{,}4,\,3, respectivamente.
Passo 5
Resumo final e interpretação curta para a prova (forma pronta para usar):
A expressão geral do trabalho de compressão para um politrópico é \,W_{\text{on}}=\dfrac{P_1 V_1}{n-1}\left(r^{\,n-1}-1\right) para \,n\neq1 e \,W_{\text{on}}=P_1V_1\ln r para \,n=1.
A função que multiplica \,P_1V_1 é crescente em n para n>1, logo o trabalho cresce com n. Portanto o mínimo ocorre em n=1: o processo isotérmico consome menos trabalho.
Com os números do enunciado: \,W_{\text{iso}}\approx57{,}56\\ \text{J}, \,W_{n=1{,}4}\approx94{,}49\\ \text{J} e \,W_{n=3}=1\,237{,}5\\ \text{J}.
Resposta
O processo isotérmico (n=1) consome menos trabalho.
\;W_{\text{iso}} = P_1V_1\ln r \approx 57{,}56\\ \text{J}