Para um gás ideal, o calor específico a pressão constante será sempre maior que o calor específico a volume constante, pois c p=c v+R (ver aulas 2 e 3). Desta forma, a constante \mathrm{k}=\mathrm{cp} / \mathrm{cv}, muitas vezes utilizada como coeficiente politrópico, sempre será maior do que 1. Para coeficientes politrópicos variando de 1 a 3, mostre que o processo de compressão isotérmico é o que consome menos trabalho. Admita ar inicialmente a 1 bar e 20^{\circ} \mathrm{C}, em um cilindro de 250 \mathrm{~cm}^{3}, com taxa de compressão de 10 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados iniciais (peguei estes do enunciado):
    • Pressão inicial: \,P_1 = 1\\ \text{bar} = 1\times 10^{5}\\ \text{Pa}.
    • Temperatura inicial: \,T_1 = 20^\circ\text{C} = 293{,}15\\ \text{K}.
    • Volume inicial: \,V_1 = 250\\ \text{cm}^{3} = 2{,}5\times10^{-4}\\ \text{m}^{3}.
    • Taxa de compressão (razão de volumes): \,r = \dfrac{V_1}{V_2} = 10. Logo \,V_2 = V_1/10.
  • O enunciado pede:
    1. Mostrar, para coeficientes politrópicos \,n variando de \,1 a \,3, que o processo de compressão isotérmico (caso \,n=1) é o que consome menos trabalho.
    2. Calcular o trabalho de compressão para os casos relevantes usando os dados numéricos fornecidos (vou calcular pelo menos para \,n=1 (isotérmico), \,n=1{,}4 (valor típico do ar adiabático) e \,n=3 para cobrir o extremos pedido).

Passo 2

Entender e deduzir a expressão do trabalho para um processo politrópico (aula rápida e passo a passo).
  • Definição do processo politrópico: numa transformação politrópica vale
    P V^{n}=\text{const} \equiv C,
    onde \,n é o expoente politrópico. Aqui \,P é pressão e \,V é volume.
  • Trabalho elementar (sinal): o trabalho realizado pelo gás ao variar o volume é
    \delta W_{\text{by}}=P\,dV.
    Para compressão queremos o trabalho feito sobre o gás (positivo quando comprimimos); então
    W_{\text{on}} = -\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
  • Substituindo P = C V^{-n} e integrando (caso \,n\neq1):
    W_{\text{on}} = -\int_{V_1}^{V_2} C V^{-n}\,dV = -\frac{C}{1-n}\bigl[V^{\,1-n}\bigr]_{V_1}^{V_2} = \frac{C}{n-1}\left(V_2^{\,1-n}-V_1^{\,1-n}\right).
    Agora escrevemos C em termos de condições iniciais: C=P_1 V_1^{n}. Substituindo:
    W_{\text{on}} = \frac{P_1 V_1^{n}}{n-1}\left(V_2^{\,1-n}-V_1^{\,1-n}\right).
    Factorizando V_1^{\,1-n} em parênteses:
    W_{\text{on}} = \frac{P_1 V_1}{n-1}\left[\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-n}-1\right].
    Lembrando que \,V_2/V_1=1/r, temos \,(V_2/V_1)^{1-n}=r^{\,n-1}. Portanto, para \,n\neq1:
    \boxed{\,W_{\text{on}}=\frac{P_1 V_1}{n-1}\left(r^{\,n-1}-1\right).\,}
    Observação importante sobre sinais: como r>1 e n>1, temos r^{\,n-1}>1 e W_{\text{on}}>0, ou seja, trabalho positive feito sobre o gás durante a compressão.
  • Caso isotérmico ( n=1): a integral deve ser feita separadamente. Para n=1 vale P V = \text{const} e
    W_{\text{on}} = -\int_{V_1}^{V_2} P\,dV = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{P_1 V_1}{V}\,dV = P_1 V_1 \int_{V_2}^{V_1} \frac{dV}{V} = P_1 V_1 \ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
    Como \,V_1/V_2=r, temos
    \boxed{\,W_{\text{on, iso}} = P_1 V_1 \ln r\, .}
  • Verificação de continuidade no limite n\to1: a expressão para n\neq1 tem limite
    \lim_{n\to1}\frac{r^{\,n-1}-1}{n-1}=\ln r,
    portanto as fórmulas são consistentes.

Passo 3

Provar que o trabalho cresce com [,n) para \,n\ge1 (ou seja, que o caso isotérmico é o que exige menos trabalho).
  • Como P_1V_1 e \,r são fixos, defina a função
    H(n)= \begin{cases} \dfrac{r^{\,n-1}-1}{n-1}, & n\neq1,\\[6pt] \ln r, & n=1, \end{cases}
    de modo que (,W_{on} = P_1V_1,H(n)].
  • Mostraremos que H(n) é crescente para n>1. Ponha a=n-1>0 e escreva
    H(a)=\frac{r^{a}-1}{a},\qquad a>0.
    Calcule a derivada (regra do quociente):
    H'(a)=\frac{a r^{a}\ln r -(r^{a}-1)}{a^{2}} =\frac{r^{a}\,(a\ln r -1)+1}{a^{2}}.
    Para investigar o sinal do numerador defina x=a\ln r>0 (pois \,a>0 e \,\ln r>0 para r>1). O numerador fica
    N(x)=e^{x}(x-1)+1.
    Observe que N(0)=0 e
    N'(x)=e^{x}x>0\quad\text{para }x>0,
    portanto N(x)>0 para todo x>0. Logo H'(a)>0 para todo a>0, isto é H é estritamente crescente para a>0 (equivalente a n>1).
  • Conclusão: como W_{\text{on}} é proporcional a H(n) com fator positivo \,P_1V_1, segue que W_{\text{on}} cresce com n quando n>1. Portanto o valor mínimo de W_{\text{on}} no intervalo [1,3] é obtido em n=1, ou seja, o processo isotérmico consome menos trabalho do que qualquer politrópico com 1<n\le3.
(Comentário físico-intuitivo: para maiores \,n menos calor sai/entra durante a compressão, a temperatura aumenta mais e a pressão cresce mais rápido com a compressão, exigindo trabalho maior.)]

Passo 4

Cálculo numérico com os dados fornecidos (mostrando contas passo a passo).
  • Primeiro calcule \,P_1 V_1:
    P_1 V_1 = \left(1\times10^{5}\\ \text{Pa}\right)\left(2{,}5\times10^{-4}\\ \text{m}^{3}\right) = 25\\ \text{J}.
  • Caso isotérmico ( n=1):
    W_{\text{iso}} = P_1 V_1 \ln r = 25\cdot \ln 10 = 25\cdot 2{,}302585\ldots \approx 57{,}56\\ \text{J}.
  • Caso n=1{,}4 (valor típico do ar adiabático: \gamma\approx1{,}4):
    r^{\,n-1} = 10^{0{,}4} \approx 2{,}511886\ldots
W_{n=1{,}4}=\frac{P_1 V_1}{n-1}\left(r^{\,n-1}-1\right) =\frac{25}{0{,}4}\left(2{,}511886-1\right) =62{,}5\cdot 1{,}511886 \approx 94{,}49\\ \text{J}.
  • Caso n=3: r^{\,n-1}=10^{2}=100,
W_{n=3}=\frac{25}{2}\,(100-1)=12{,}5\cdot 99 = 1\,237{,}5\\ \text{J}.
  • Esses valores confirmam numericamente a propriedade já demonstrada analiticamente: 57{,}56\\ \text{J} < 94{,}49\\ \text{J} < 1\,237{,}5\\ \text{J} para n=1,\,1{,}4,\,3, respectivamente.

Passo 5

Resumo final e interpretação curta para a prova (forma pronta para usar):
  • A expressão geral do trabalho de compressão para um politrópico é \,W_{\text{on}}=\dfrac{P_1 V_1}{n-1}\left(r^{\,n-1}-1\right) para \,n\neq1 e \,W_{\text{on}}=P_1V_1\ln r para \,n=1.
  • A função que multiplica \,P_1V_1 é crescente em n para n>1, logo o trabalho cresce com n. Portanto o mínimo ocorre em n=1: o processo isotérmico consome menos trabalho.
  • Com os números do enunciado: \,W_{\text{iso}}\approx57{,}56\\ \text{J}, \,W_{n=1{,}4}\approx94{,}49\\ \text{J} e \,W_{n=3}=1\,237{,}5\\ \text{J}.

Resposta

O processo isotérmico ( n=1) consome menos trabalho.
\;W_{\text{iso}} = P_1V_1\ln r \approx 57{,}56\\ \text{J}
\;W_{n=1{,}4} \approx 94{,}49\\ \text{J}
\;W_{n=3} = 1\,237{,}5\\ \text{J}

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