Consideremos a força do vácuo provocada pelo gás de \mathrm{O}_{2} sob uma pressão de 3 torr, com diâmetro de colisão é de 398 pm e temperatura de 20 { }^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
a) Velocidade média das moléculas;
b) A frequência de colisão do gás;
c) \bigcirc número de moléculas que saem, quando um orifício com diâmetro 0,01 \mathrm{~nm} é realizado no recipiente, durante o intervalo de tempo de 3 minutos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece dados numéricos. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos:
  • Pedidos:
    • (a) calcular a velocidade média das moléculas;
    • (b) calcular a frequência de colisão do gás (frequência de colisão por molécula);
    • (c) calcular o número de moléculas que saem por um orifício de diâmetro dado em um intervalo de tempo dado.
  • Dados fornecidos:
    • gás: \mathrm{O}_2;
    • pressão: p=3\\ \text{torr};
    • diâmetro de colisão (diâmetro efetivo das moléculas): d=398\\ \text{pm};
    • temperatura: T=20\\ ^\circ\mathrm{C};
    • orifício (para o item c): diâmetro d_{\text{orifício}}=0{,}01\\ \text{nm}í;
    • intervalo de tempo para (c): \Delta t = 3\\ \text{min}.
Observações de conversão que usarei (vou transformar tudo para unidades SI):
  • 1\\ \text{torr}=133{,}322\\ \mathrm{Pa}.
  • 1\\ \text{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m}, 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • temperatura em Kelvin: T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 2

Converter os dados para SI e listar constantes físicas que vou usar.
  • Temperatura:
T = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão em pascal (peguei o fator de conversão):
p = 3\\ \text{torr} = 3 \times 133{,}322 = 399{,}966\\ \mathrm{Pa}\approx 400\\ \mathrm{Pa}.
  • Diâmetro de colisão:
d = 398\\ \text{pm} = 398\times10^{-12}\\ \mathrm{m} = 3{,}98\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do orifício:
d_{\text{orifício}} = 0{,}01\\ \text{nm} = 0{,}01\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.í
  • Constantes:
    • constante de Boltzmann: k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}};
    • número de Avogadro: N_A = 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}};
    • massa molar do \mathrm{O}_2: M = 32{,}00\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}032\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Massa de uma molécula de \mathrm{O}_2 (vou usar m=M/N_A):
m = \dfrac{0{,}032}{6{,}02214076\times10^{23}} \approx 5{,}31\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

(a) Cálculo da velocidade média das moléculas e explicação da fórmula.
Teoria rápida e amigável: para um gás ideal em equilíbrio térmico a distribuição de velocidades de Maxwell dá uma velocidade média (também chamada de velocidade média escalar) dada por
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8 k_B T}{\pi m}},
onde:
  • \bar{v} é a velocidade média (módulo médio da velocidade) em \mathrm{m\,s^{-1}};
  • k_B é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura em Kelvin;
  • m é a massa de uma molécula em kg;
  • o fator \sqrt{8/(\pi)} vem da média do módulo da velocidade na distribuição de Maxwell.
Agora aplico a fórmula com os valores que calculei:
Calcular o numerador e denominador separadamente para clareza:
8 k_B T = 8 \times 1{,}380649\times10^{-23}\times 293{,}15 \approx 3{,}2386\times10^{-20}\\ \mathrm{J},
\pi m \approx 3{,}14159265 \times 5{,}31\times10^{-26} \approx 1{,}669\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
Dividindo e extraindo a raiz:
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{3{,}2386\times10^{-20}}{1{,}669\times10^{-25}}} =\sqrt{1{,}94\times10^{5}}\approx 4{,}41\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Resultado numérico:
\bar{v}\approx 4{,}41\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \quad(\text{ou }440{,}6\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\\ \text{aprox.}).

Passo 4

Preparação para (b): densidade numérica n e seção de colisão \sigma.
  • Número de partículas por volume (densidade numérica) a partir da equação dos gases ideais p = n k_B T. Assim
n=\dfrac{p}{k_B T}.
Plugando valores (peguei p e T que converti antes):
n = \dfrac{399{,}966}{1{,}380649\times10^{-23}\times 293{,}15} \approx \dfrac{399{,}966}{4{,}048\times10^{-21}} \approx 9{,}89\times10^{22}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Seção de choque (assumindo moléculas como esferas rígidas de diâmetro d):
\sigma = \pi d^{2}.
Com d=3{,}98\times10^{-10}\\ \mathrm{m}:
\sigma = \pi (3{,}98\times10^{-10})^{2} \approx 4{,}98\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

(b) Cálculo da frequência de colisão por molécula e explicação da fórmula.
Teoria rápida: cada molécula “varre” por unidade de tempo um volume igual a \sigma\langle v_{\text{rel}}\rangle, onde \langle v_{\text{rel}}\rangle é a velocidade relativa média entre duas moléculas. Multiplicando pela densidade numérica n obtém-se a taxa de colisões que essa molécula sofre:
Z = n\,\sigma\,\langle v_{\text{rel}}\rangle.
Para moléculas idênticas na distribuição de Maxwell vale
\langle v_{\text{rel}}\rangle = \sqrt{2}\,\bar{v},
porque a média da velocidade relativa entre duas partículas independentes é \sqrt{2} vezes a média do módulo da velocidade de uma partícula.
Portanto, calculo \langle v_{\text{rel}}\rangle:
\langle v_{\text{rel}}\rangle = \sqrt{2}\times 4{,}406\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}\approx 6{,}23\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Agora a frequência de colisão por molécula:
Z = n\,\sigma\,\langle v_{\text{rel}}\rangle \approx (9{,}89\times10^{22})(4{,}98\times10^{-19})(6{,}23\times10^{2}).
Faço a multiplicação em partes:
n\sigma \approx 9{,}89\times10^{22}\times4{,}98\times10^{-19}\approx 4{,}92\times10^{4}\\ \mathrm{m^{-1}s^{0}},
Z \approx 4{,}92\times10^{4}\times6{,}23\times10^{2}\approx 3{,}07\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: cada molécula sofre cerca de 3{,}1\times10^{7} colisões por segundo nessas condições de pressão e temperatura.

Passo 6

(c) Cálculo do número de moléculas que escapam pelo orifício em \Delta t = 3 minutos, explicando a fórmula de efusão.
Teoria e fórmula: para um orifício pequeno (regime de efusão, ou seja, diâmetro do orifício muito pequeno comparado ao caminho livre médio), o fluxo de moléculas que atinge uma superfície por unidade de área e por segundo é dado por
\Phi = \dfrac{1}{4}\,n\,\bar{v},
onde \Phi tem unidades \mathrm{m^{-2}s^{-1}} (número de moléculas por área por tempo). A justificativa rápida: das três componentes de velocidade, a média do componente dirigida para a superfície dá o fator 1/4 ao combinar média sobre direção e sentido (resultado bem conhecido em cinética de gases).
Então o número de moléculas que passam pelo orifício por segundo é
\dot{N} = \Phi \, A = \dfrac{1}{4} n \bar{v} A,
onde A é a área do orifício:
A = \pi \left(\dfrac{d_{\text{orifício}}}{2}\right)^{2} = \pi \left(\dfrac{1{,}0\times10^{-11}}{2}\right)^{2} = \pi (5{,}0\times10^{-12})^{2} \approx 7{,}854\times10^{-23}\\ \mathrm{m^{2}}.í
Calculo do fluxo:
\Phi = \dfrac{1}{4} n \bar{v} = \dfrac{1}{4}\times 9{,}89\times10^{22}\times 4{,}406\times10^{2} \approx 1{,}09\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}}.
Número por segundo através do orifício:
\dot{N} = \Phi A \approx (1{,}09\times10^{25})(7{,}854\times10^{-23})\approx 8{,}56\times10^{2}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Número total em \Delta t = 3\\ \text{min}=180\\ \mathrm{s}:
N = \dot{N}\,\Delta t \approx 8{,}56\times10^{2}\times 180 \approx 1{,}54\times10^{5}\\ \text{moléculas}.é

Passo 7

Verificação rápida de consistência (assumindo sem formalismo pesado):
  • O resultado do item (c) é um número pequeno (ordem 10^{5}) porque o orifício é extremamente minúsculo ( 10^{-11}\\ \mathrm{m} de diâmetro) e a pressão é baixa (3 torr). Isso está qualitativamente coerente.
  • Observação sobre validade da fórmula de efusão: para usar \Phi= \tfrac14 n\bar{v} é necessário que o orifício seja muito menor do que o caminho livre médio. O caminho livre médio \ell aumenta quando a pressão diminui; a estimativa grosseira é \ell \sim \dfrac{1}{\sqrt{2}\,n\sigma}. Com nossos valores n e \sigma podemos estimar \ell e verificar que é muito maior que o orifício (mas não detalho esse cálculo aqui para não alongar demais). Portanto a aproximação de efusão é razoável nas condições dadas.

Resposta

(a) \bar{v}\approx 4{,}41\times10^{2}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\n
(b) Z\approx 3{,}07\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}} (colisões por molécula por segundo).\n
(c) N\approx 1{,}54\times10^{5} moléculas (escapam em 3 minutos).

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