Consideremos a força do vácuo provocada pelo gás de
sob uma pressão de 3 torr, com diâmetro de colisão é de 398 pm e temperatura de 20
, calcule:
a) Velocidade média das moléculas;
b) A frequência de colisão do gás;
c)
número de moléculas que saem, quando um orifício com diâmetro
é realizado no recipiente, durante o intervalo de tempo de 3 minutos.
a) Velocidade média das moléculas;
b) A frequência de colisão do gás;
c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece dados numéricos. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos:
-
Pedidos:
- (a) calcular a velocidade média das moléculas;
- (b) calcular a frequência de colisão do gás (frequência de colisão por molécula);
- (c) calcular o número de moléculas que saem por um orifício de diâmetro dado em um intervalo de tempo dado.
-
Dados fornecidos:
- gás:
; - pressão:
; - diâmetro de colisão (diâmetro efetivo das moléculas):
; - temperatura:
; - orifício (para o item c): diâmetro
; - intervalo de tempo para (c):
.
- gás:
Observações de conversão que usarei (vou transformar tudo para unidades SI):
-
. -
, . - temperatura em Kelvin:
.
Passo 2
Converter os dados para SI e listar constantes físicas que vou usar.
- Temperatura:
- Pressão em pascal (peguei o fator de conversão):
- Diâmetro de colisão:
- Diâmetro do orifício:
- Constantes:
- constante de Boltzmann:
; - número de Avogadro:
; - massa molar do
: .
- constante de Boltzmann:
- Massa de uma molécula de
(vou usar ):
Passo 3
(a) Cálculo da velocidade média das moléculas e explicação da fórmula.
Teoria rápida e amigável: para um gás ideal em equilíbrio térmico a distribuição de velocidades de Maxwell dá uma velocidade média (também chamada de velocidade média escalar) dada por
onde:
-
é a velocidade média (módulo médio da velocidade) em ; -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura em Kelvin; -
é a massa de uma molécula em kg; - o fator
vem da média do módulo da velocidade na distribuição de Maxwell.
Agora aplico a fórmula com os valores que calculei:
Calcular o numerador e denominador separadamente para clareza:
Dividindo e extraindo a raiz:
Resultado numérico:
Passo 4
Preparação para (b): densidade numérica
e seção de colisão
.
- Número de partículas por volume (densidade numérica) a partir da equação dos gases ideais
. Assim
Plugando valores (peguei
e
que converti antes):
- Seção de choque (assumindo moléculas como esferas rígidas de diâmetro
):
Com
:
Passo 5
(b) Cálculo da frequência de colisão por molécula e explicação da fórmula.
Teoria rápida: cada molécula “varre” por unidade de tempo um volume igual a
, onde
é a velocidade relativa média entre duas moléculas. Multiplicando pela densidade numérica
obtém-se a taxa de colisões que essa molécula sofre:
Para moléculas idênticas na distribuição de Maxwell vale
porque a média da velocidade relativa entre duas partículas independentes é
vezes a média do módulo da velocidade de uma partícula.
Portanto, calculo
:
Agora a frequência de colisão por molécula:
Faço a multiplicação em partes:
Interpretação: cada molécula sofre cerca de
colisões por segundo nessas condições de pressão e temperatura.
Passo 6
(c) Cálculo do número de moléculas que escapam pelo orifício em
minutos, explicando a fórmula de efusão.
Teoria e fórmula: para um orifício pequeno (regime de efusão, ou seja, diâmetro do orifício muito pequeno comparado ao caminho livre médio), o fluxo de moléculas que atinge uma superfície por unidade de área e por segundo é dado por
onde
tem unidades
(número de moléculas por área por tempo). A justificativa rápida: das três componentes de velocidade, a média do componente dirigida para a superfície dá o fator
ao combinar média sobre direção e sentido (resultado bem conhecido em cinética de gases).
Então o número de moléculas que passam pelo orifício por segundo é
onde
é a área do orifício:
Calculo do fluxo:
Número por segundo através do orifício:
Número total em
:
Passo 7
Verificação rápida de consistência (assumindo sem formalismo pesado):
- O resultado do item (c) é um número pequeno (ordem
) porque o orifício é extremamente minúsculo ( de diâmetro) e a pressão é baixa (3 torr). Isso está qualitativamente coerente. - Observação sobre validade da fórmula de efusão: para usar
é necessário que o orifício seja muito menor do que o caminho livre médio. O caminho livre médio aumenta quando a pressão diminui; a estimativa grosseira é . Com nossos valores e podemos estimar e verificar que é muito maior que o orifício (mas não detalho esse cálculo aqui para não alongar demais). Portanto a aproximação de efusão é razoável nas condições dadas.
Resposta
(a)
.\n
(b) (colisões por molécula por segundo).\n
(c) moléculas (escapam em
minutos).
(b)
(c)