2 Candida stella é uma levedura frequentemente encontrada em fermentações de uva para produção de vinhos, cujo o metabolismo sob condições aeróbicas vem sendo estudado. Em processo contínuo com frutose ( \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6} ) como fonte de carbono e fosfato de amônio como fonte de nitrogênio, o rendimento de biomassa a partir de frutose é 0.025 \mathrm{~g} / \mathrm{g}; o rendimento de etanol ( \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \mathrm{O} ) a partir de frutose é 0,21 \mathrm{~g} / \mathrm{g}; e o rendimento de glicerol \left(\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8} \mathrm{O}_{3}\right) a partir de frutose é 0,07 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. Em um processo cuja razão de consumo de frutose é 190 \mathrm{~h} / \mathrm{h}, qual a razão do consumo de oxigênio em \mathrm{g} / \mathrm{h} ? Calcule o quociente respirométrico da reação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar de forma clara para a gente não se perder):\n
  • Frutose com fórmula \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_{6}.\n
  • Rendimentos (todos em massa por massa de frutose consumida):\n
    \;Y_{X/S}=0,025\\ \mathrm{g\;biomassa/g\;frutose}\n
    \;Y_{EtOH/S}=0,21\\ \mathrm{g\;etanol/g\;frutose}\n
    \;Y_{Gly/S}=0,07\\ \mathrm{g\;glicerol/g\;frutose}\n
  • Razão de consumo de frutose dada no enunciado como 190\\ \mathrm{h/h}. Interpretei isso como 190\\ \mathrm{g\;frutose/h} porque faz sentido no contexto (taxa de consumo em massa). Vou usar essa interpretação sem perguntar nada.\n
    O que é pedido:\n
  1. Calcular a razão de consumo de oxigênio em \mathrm{g/h}.\n
  2. Calcular o quociente respirométrico (RQ = razão molar \mathrm{CO_2}/\mathrm{O_2} ).

Passo 2

Plano de ataque e justificativa do método (explicando o raciocínio):\n
  • O problema exige a ligação entre o que entra (frutose) e o que sai (biomassa + etanol + glicerol + CO2 + água) para saber quanto \mathrm{O_2} foi consumido. Montar a reação global e fazer balanço de elétrons é a forma mais direta.\n
  • Vou usar o conceito de grau de redução (grau redutor) por átomo de carbono, que simplifica muito: em termos práticos, a diferença entre os “elétrons” do substrato e dos produtos organicos mede quantos elétrons foram doados ao oxigênio; cada mol de \mathrm{O_2} aceita 4 equivalentes de elétrons (reação típica \mathrm{O_2}+4e^-+4H^+\to 2H_2O). Assim: moles \mathrm{O_2} = (excedente de equivalentes de redução)/4.\n
  • Para aplicar isso precisamos do grau de redução por C de cada composto e das quantidades (moles) de cada produto gerado por mol de frutose. Vou assumir uma fórmula empírica usual para biomassa: \mathrm{C_5H_7O_2N} (é um padrão comum em problemas de fermentação e facilita balancear N sem complicar demais). Vou explicar o que é cada coisa quando usar.\n
    Observação: usar grau de redução evita lidar com detalhes de fonte de nitrogênio e fosfato, porque o método contabiliza a transferência global de elétrons entre substrato e produtos.

Passo 3

Cálculo das massas molares e conversão dos rendimentos por mol de frutose (vou trabalhar por 1 mol de frutose):\n
  • Massa molar aproximada (vou usar valores padrão):\n
    \;M_{frutose}=180\\ \mathrm{g/mol} (para \mathrm{C_6H_{12}O_6}).\n
    \;M_{EtOH}=46,07\\ \mathrm{g/mol} (para \mathrm{C_2H_6O}).\n
    \;M_{Gly}=92,09\\ \mathrm{g/mol} (para \mathrm{C_3H_8O_3}).\n
    \;M_{X}=113,12\\ \mathrm{g/mol} (para \mathrm{C_5H_7O_2N}).\n
  • A partir de 1 mol de frutose (ou seja, 180\\ \mathrm{g} frutose) as massas dos produtos são:\n
    \;m_X = 0,025\cdot 180 = 4,5\\ \mathrm{g\;biomassa}\n
    \;m_{EtOH} = 0,21\cdot 180 = 37,8\\ \mathrm{g\;etanol}\n
    \;m_{Gly} = 0,07\cdot 180 = 12,6\\ \mathrm{g\;glicerol}\n
  • Convertemos essas massas em moles:\n
    \;n_X = \dfrac{4,5}{113,12}=0,03977\\ \mathrm{mol}\n
    \;n_{EtOH} = \dfrac{37,8}{46,07}=0,8209\\ \mathrm{mol}\n
    \;n_{Gly} = \dfrac{12,6}{92,09}=0,1368\\ \mathrm{mol}\n
    (Valores com 4 casas decimais para manter precisão nos cálculos seguintes.)

Passo 4

Explicando o grau de redução e calculando-o para cada composto (isso é o ‘ensinar a teoria’ que você pediu):\n
  • Definição intuitiva: o grau de redução por átomo de carbono, \gamma, mede quantos elétrons efetivamente “disponíveis” estão ligados ao carbono em média. Fórmula prática (para um composto \mathrm{C_aH_bO_cN_d}):\n
\gamma = \frac{4a + b - 2c - 3d}{a}.\n
Onde:\n
  • a,b,c,d são os números de átomos de C,H,O,N na fórmula empírica;\n
  • Os coeficientes vêm do balanceamento de estados de oxidação (C: +4, H: +1, O: -2, N: -3 na convenção usada).\n
  • Aplicando ao nosso caso (grau por C):\n
    Para frutose \mathrm{C_6H_{12}O_6}:\n
\gamma_{frutose}=\frac{4\cdot 6 + 12 - 2\cdot 6 - 3\cdot 0}{6}=\frac{24+12-12}{6}=4.\n
Para etanol \mathrm{C_2H_6O}:\n
\gamma_{EtOH}=\frac{4\cdot 2 + 6 - 2\cdot 1}{2}=\frac{8+6-2}{2}=6.\n
Para glicerol \mathrm{C_3H_8O_3}:\n
\gamma_{Gly}=\frac{4\cdot 3 + 8 - 2\cdot 3}{3}=\frac{12+8-6}{3}=\frac{14}{3}\approx 4,6667.\n
Para biomassa \mathrm{C_5H_7O_2N}:\n
\gamma_{X}=\frac{4\cdot 5 + 7 - 2\cdot 2 - 3\cdot 1}{5}=\frac{20+7-4-3}{5}=\frac{20}{5}=4.\n
  • Interpretação rápida: frutose e biomassa têm \gamma=4 por C, etanol é mais reduzido ( \gamma=6 por C) e glicerol é levemente mais reduzido que frutose.

Passo 5

Conta dos equivalentes de redução (elétrons) totais: pegamos o número de carbonos convertidos em cada produto multiplicado pelo \gamma.\n
  • Cada molécula de etanol tem 2 C, cada molécula de glicerol tem 3 C, cada biomassa tem 5 C.\n
  • Equivalentes totais do substrato (por 1 mol frutose):\n
    \;6\\ \text{(átomos de C)}\times \gamma_{frutose}=6\cdot 4=24á (unidade: “equivalentes de redução”, ou elétrons em termos relativos)\n
  • Equivalentes na soma dos produtos orgânicos:\n
    Etanol: \;n_{EtOH}\cdot 2\cdot \gamma_{EtOH}=0,8209\cdot 2\cdot 6=0,8209\cdot 12=9,8508\n
    Glicerol: \;n_{Gly}\cdot 3\cdot \gamma_{Gly}=0,1368\cdot 3\cdot \frac{14}{3}=0,1368\cdot 14=1,9153\n
    Biomassa: \;n_X\cdot 5\cdot \gamma_X=0,03977\cdot 5\cdot 4=0,03977\cdot 20=0,7954\n
    Soma: 9,8508+1,9153+0,7954=12,5615 equivalentes.\n
  • Diferença (elétrons que foram doados ao aceptor terminal, o \mathrm{O_2}):\n
\Delta eq = 24 - 12,5615 = 11,4385.

Passo 6

Converter essa diferença em moles de \mathrm{O_2}:\n
  • Cada mol de \mathrm{O_2} aceita 4 equivalentes (reação redutora do oxigênio), então:\n
n_{O_2} = \frac{\Delta eq}{4}=\frac{11,4385}{4}=2,8596\\ \mathrm{mol\\ O_2\\ por\\ mol\\ frutose}.

Passo 7

Converter n_{O_2} por mol de frutose em massa de \mathrm{O_2} por mol e depois em \mathrm{g\\ O_2/g\;frutose}:\n
  • Massa molar do \mathrm{O_2}: M_{O_2}=32,00\\ \mathrm{g/mol}.\n
  • Massa de \mathrm{O_2} consumida por mol frutose:\n
m_{O_2\,(por\;mol)} = n_{O_2}\cdot M_{O_2}=2,8596\cdot 32,00=91,507\\ \mathrm{g\\ O_2\\ por\\ mol\\ frutose}.\n
  • Como 1 mol frutose = 180\\ \mathrm{g}, então consumo específico por massa de frutose:\n
\frac{m_{O_2}}{m_{frutose}}=\frac{91,507}{180}=0,50837\\ \mathrm{g\\ O_2/g\;frutose}.

Passo 8

Calcular a razão de consumo de oxigênio em \mathrm{g/h} usando a taxa de consumo de frutose 190\\ \mathrm{g/h}:\n
\dot{m}_{O_2} = 0,50837\\ \frac{\mathrm{g\\ O_2}}{\mathrm{g\\ frutose}}\times 190\\ \frac{\mathrm{g\\ frutose}}{\mathrm{h}}=96,5903\\ \mathrm{g/h}.\n
Arredondando razoavelmente: \;96,6\\ \mathrm{g/h}.

Passo 9

Calcular o quociente respirométrico (RQ):\n
  • RQ é definido como razão molar \mathrm{CO_2} produzido dividido por mol \mathrm{O_2} consumido.\n
  • Precisamos da quantidade de \mathrm{CO_2} formada por mol de frutose. Fazendo balanço de carbono (fácil agora que temos as moles de produtos):\n
    Carbono total inicial: 6 mol C (por mol de frutose).\n
    Carbono nos produtos orgânicos:\n
    Biomassa: n_X\cdot 5 = 0,03977\cdot 5 = 0,19885\\ \mathrm{mol\\ C}\n
    Etanol: n_{EtOH}\cdot 2 = 0,8209\cdot 2 = 1,6418\\ \mathrm{mol\\ C}\n
    Glicerol: n_{Gly}\cdot 3 = 0,1368\cdot 3 = 0,4104\\ \mathrm{mol\\ C}\n
    Soma de C nos orgânicos = 0,19885+1,6418+0,4104=2,25105\\ \mathrm{mol\\ C}.\n
    Portanto C convertido a \mathrm{CO_2}:\n
n_{CO_2} = 6 - 2,25105 = 3,74895\\ \mathrm{mol\\ CO_2\\ por\\ mol\\ frutose}.\n
  • Já tínhamos n_{O_2}=2,8596\\ \mathrm{mol\\ O_2\\ por\\ mol\\ frutose}.\n
  • Assim o RQ é:\n
RQ=\frac{n_{CO_2}}{n_{O_2}}=\frac{3,74895}{2,8596}=1,3107\approx 1,31.

Passo 10

Breve checagem e interpretação (força motivacional):\n
  • RQ maior que 1 (aqui \approx 1,31) indica que parte do carbono está saindo como produtos reduzidos (etanol, glicerol) — isso faz sentido: se tudo fosse completamente oxidado a CO2, RQ seria 1 diretamente? Na verdade, para glicídios completamente oxidados RQ = 1, mas presença de produção de compostos reduzidos ou formação de biomassa altera o número; então o valor acima de 1 é compatível com produção de etanol (produto reduzido) e glicerol.\n
  • A ordem de grandeza do consumo de \mathrm{O_2} (~ 10^2\\ \mathrm{g/h}) também é razoável para um processo com 190\\ \mathrm{g/h} de frutose.\n
    Parabéns — você chegou ao resultado seguindo uma linha lógica, sem pular etapas!

Resposta

\dot{m}_{O_2}=96,6\\ \mathrm{g/h}\n
RQ=1,31

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