3 Streptomyces erythraeus \left(\mathrm{CH}_{1,73} \mathrm{O}_{0,52} \mathrm{~N}_{0,17} \mathrm{~S}_{0,0032}\right) é uma bactéria que cresce em meio de cultura contendo glicose como fonte de carbono, amônia como fonte de nitrogênio e sulfato como fonte de enxofre. Nenhum maior produto além de biomassa é produzido. Enxofre é facilmente incluído no balanço estequiométrico se usarmos ácido sulfúrico \left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}\right) para representar o enxofre e definir a valencia do enxofre como +6 . O rendimento da biomassa é 0,29 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. Qual o requerimento de oxigênio para essa este processo? Supondo que o meio de cultivo contenha 20 \mathrm{~g} / \mathrm{l} de glicose, o qual é toda consumida pela bactéria, qual a concentração mínima de enxofre que deve ser incluída no meio de cultivo em gmol/l?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. O requerimento de oxigênio para o processo de crescimento (quantidade de \mathrm{O}_2 consumida quando a glicose é usada como substrato e só se forma biomassa além de CO _2 e água).
  2. Se o meio contém 20\\ \mathrm{g/L} de glicose (toda consumida), qual a concentração mínima de enxofre que deve ser incluída no meio em gmol/L (ou seja, mol/L).
Informações dadas (todas devem ser usadas):
  • Fórmula empírica da biomassa: \mathrm{C H_{1,73} O_{0,52} N_{0,17} S_{0,0032}}. Essa fórmula está escrita por unidade de 1 átomo de carbono (ou seja, uma “unidade de fórmula” contém 1 mol de C).
  • Rendimento de biomassa sobre substrato: Y_{X/S}=0{,}29\\ \mathrm{g\\ biomass}/\mathrm{g\\ glicose}.
  • Substrato: glicose \mathrm{C_6H_{12}O_6}.
  • Fonte de nitrogênio: amônia \mathrm{NH_3}.
  • Fonte de enxofre: representada por \mathrm{H_2SO_4} (um mol de \mathrm{H_2SO_4} fornece 1 mol de S); valência do S como +6 já está assumida na representação.
  • Nenhum outro produto maior além de biomassa (portanto produtos óbvios que sobram são \mathrm{CO_2} e \mathrm{H_2O}).
  • Pesos atômicos usuais que usarei: M_C=12{,}01, M_H=1{,}008, M_O=16{,}00, M_N=14{,}01, M_S=32{,}06 (g/mol).
  • Massa molar da glicose: M_{\mathrm{glicose}}=180{,}16\\ \mathrm{g/mol}.
Nada mais será assumido além disto.

Passo 2

Estratégia e conceitos necessários (explicação didática):
  • Vou montar uma reação estequiométrica global por 1 mol de glicose consumida:
\mathrm{C_6H_{12}O_6} + a\,\mathrm{NH_3} + c\,\mathrm{H_2SO_4} + d\,\mathrm{O_2} \rightarrow n_X\,(\mathrm{C H_{1,73} O_{0,52} N_{0,17} S_{0,0032}}) + f\,\mathrm{CO_2} + g\,\mathrm{H_2O}
  • Explicação do que cada símbolo significa:
    • a = mols de \mathrm{NH_3} consumidos por mol de glicose;
    • c = mols de \mathrm{H_2SO_4} consumidos por mol de glicose (igual aos mols de S adicionados por mol de glicose);
    • d = mols de \mathrm{O_2} consumidos por mol de glicose (é o que queremos);
    • n_X = mols da unidade de fórmula de biomassa formados por mol de glicose;
    • f = mols de \mathrm{CO_2} formados;
    • g = mols de \mathrm{H_2O} formados.
  • Usaremos balanços elementares (C, H, O, N, S) para encontrar as incógnitas. A ideia é: contabilizar átomos à esquerda e à direita e igualar.
  • Também usaremos o rendimento Y_{X/S} para relacionar massa de biomassa formada por massa de glicose consumida. Com isso transformamos massa de biomassa em mols de unidades de fórmula usando a massa molar da unidade de fórmula da biomassa (vamos calcular isso).

Passo 3

Calcular a massa molar da unidade de fórmula da biomassa (uma unidade contém 1 C, 1{,}73 H, 0{,}52 O, 0{,}17 N, 0{,}0032 S):
M_X = 1\cdot M_C + 1{,}73\cdot M_H + 0{,}52\cdot M_O + 0{,}17\cdot M_N + 0{,}0032\cdot M_S.
Agora substituo os valores:
M_X = 1\cdot 12{,}01 + 1{,}73\cdot 1{,}008 + 0{,}52\cdot 16{,}00 + 0{,}17\cdot 14{,}01 + 0{,}0032\cdot 32{,}06.
Faço as contas passo a passo:
12{,}01 + 1{,}73\cdot 1{,}008 = 12{,}01 + 1{,}74384 = 13{,}75384,
13{,}75384 + 0{,}52\cdot 16{,}00 = 13{,}75384 + 8{,}32 = 22{,}07384,
22{,}07384 + 0{,}17\cdot 14{,}01 = 22{,}07384 + 2{,}3817 = 24{,}45554,
24{,}45554 + 0{,}0032\cdot 32{,}06 = 24{,}45554 + 0{,}102592 = 24{,}558132.
Portanto:
M_X \approx 24{,}5581\\ \mathrm{g/mol\\ unidade\\ de\\ fórmula}.ó

Passo 4

Usar o rendimento Y_{X/S} para obter quantos mols de unidade de fórmula de biomassa são formados por mol de glicose.
  • Para 1 mol de glicose temos massa de glicose =180{,}16\\ \mathrm{g}.
  • Biomassa formada (massa) por 1 mol de glicose:
m_X = Y_{X/S}\times 180{,}16 = 0{,}29 \times 180{,}16 = 52{,}2464\\ \mathrm{g}.
  • Convertendo para mols de unidade de fórmula:
n_X = \frac{m_X}{M_X} = \frac{52{,}2464}{24{,}558132} \approx 2{,}1265\\ \mathrm{mol\\ unidades\\ de\\ fórmula}.ó
Vou usar n_X=2{,}1265 (arredondado de forma razoável) nas contas estequiométricas.

Passo 5

Balanço de carbono (C):
  • À esquerda: glicose tem 6 átomos de C \Rightarrow 6 mols de C por mol glicose.
  • À direita: cada unidade de biomass contém 1 C, então C na biomassa = n_X. CO _2 contém 1 C cada, então f mol CO _2 contribui com f mol C.
  • Igualando:
6 = n_X + f \quad\Rightarrow\quad f = 6 - n_X.
Substituindo n_X:
f = 6 - 2{,}1265 = 3{,}8735\\ \mathrm{mol\\ CO_2\\ per\\ mol\\ glucose}.

Passo 6

Balanço de nitrogênio (N):
  • À esquerda: a mols de \mathrm{NH_3} fornecem a mols de N (cada NH _3 tem 1 N).
  • À direita: biomassa contém 0{,}17 N por unidade de fórmula, total = n_X\cdot 0{,}17.
  • Igualando:
a = n_X\cdot 0{,}17.
Substituindo n_X:
a = 2{,}1265 \times 0{,}17 \approx 0{,}3615\\ \mathrm{mol\\ NH_3\\ per\\ mol\\ glucose}.

Passo 7

Balanço de enxofre (S):
  • À esquerda: c mols de \mathrm{H_2SO_4} fornecem c mols de S.
  • À direita: biomassa contém 0{,}0032 S por unidade de fórmula, total = n_X\cdot 0{,}0032.
  • Igualando:
c = n_X\cdot 0{,}0032.
Substituindo:
c = 2{,}1265 \times 0{,}0032 \approx 0{,}0068048\\ \mathrm{mol\\ H_2SO_4\\ per\\ mol\\ glucose},
o que corresponde a 0{,}0068048 mol de S por mol de glicose.

Passo 8

Balanço de hidrogênio (H) para achar g (mols de água formados):
  • À esquerda: glicose tem 12 H; \mathrm{NH_3} contribui com 3a H; \mathrm{H_2SO_4} contribui com 2c H.
    Então H _{esq}=12 + 3a + 2c.
  • À direita: biomassa tem n_X\cdot 1{,}73 H; água tem 2g H.
    Então H _{dir}=n_X\cdot 1{,}73 + 2g.
  • Igualando:
12 + 3a + 2c = n_X\cdot 1{,}73 + 2g.
Substituo a, c, n_X:
12 + 3(0{,}3615) + 2(0{,}0068048) = 2{,}1265\cdot 1{,}73 + 2g.
Faço as contas:
12 + 1{,}0845 + 0{,}0136096 = 3{,}677745 + 2g.
13{,}0981096 = 3{,}677745 + 2g \quad\Rightarrow\quad 2g = 13{,}0981096 - 3{,}677745 = 9{,}4203646.
g = 4{,}7101823\\ \mathrm{mol\\ H_2O\\ per\\ mol\\ glucose}.

Passo 9

Balanço de oxigênio (O) para achar d (mols de \mathrm{O}_2 consumidos):
  • À esquerda: glicose tem 6 O; \mathrm{H_2SO_4} tem 4c O; \mathrm{O_2} 2d O. Total à esquerda:
O_{esq} = 6 + 4c + 2d.
  • À direita: biomassa tem n_X\cdot 0{,}52 O; CO _2 tem 2f O; água tem g O. Total:
O_{dir} = n_X\cdot 0{,}52 + 2f + g.
  • Igualando:
6 + 4c + 2d = n_X\cdot 0{,}52 + 2f + g.
Substituo os valores já obtidos ( c=0{,}0068048, n_X=2{,}1265, f=3{,}8735, g=4{,}7101823):
Calculo primeiro o lado direito:
n_X\cdot 0{,}52 = 2{,}1265\times 0{,}52 = 1{,}10578\\ (\text{aprox.}),
2f = 2\times 3{,}8735 = 7{,}7470,
g = 4{,}7101823.
Somando:
O_{dir} = 1{,}10578 + 7{,}7470 + 4{,}7101823 = 13{,}5629623.
Lado esquerdo sem \mathrm{O}_2:
6 + 4c = 6 + 4\times 0{,}0068048 = 6 + 0{,}0272192 = 6{,}0272192.
Assim:
6{,}0272192 + 2d = 13{,}5629623 \quad\Rightarrow\quad 2d = 13{,}5629623 - 6{,}0272192 = 7{,}5357431.
d = 3{,}7678716\\ \mathrm{mol\\ O_2\\ per\\ mol\\ glucose}.

Passo 10

Interpretando o resultado e convertendo para unidades usuais:
  • Temos d \approx 3{,}76787\\ \mathrm{mol\\ O_2} por 1 mol de glicose.
  • Convertendo para mol de \mathrm{O}_2 por grama de glicose:
\frac{3{,}7678716}{180{,}16} \approx 0{,}020918\\ \mathrm{mol\\ O_2/g\\ glicose}.
  • Convertendo para massa de \mathrm{O}_2 por grama de glicose (massa molar \mathrm{O_2}=32{,}00\\ \mathrm{g/mol}):
0{,}020918\\ \mathrm{mol/g}\times 32{,}00\\ \mathrm{g/mol} \approx 0{,}6694\\ \mathrm{g\\ O_2/g\\ glicose}.
  • Para interpretação prática: se o meio tem 20\\ \mathrm{g/L} de glicose, o consumo total de \mathrm{O_2} por litro quando toda a glicose for consumida é:
20\\ \mathrm{g/L}\times 0{,}6694\\ \mathrm{g\\ O_2/g} = 13{,}388\\ \mathrm{g\\ O_2/L}.
(essas conversões ajudam a usar o resultado conforme necessário).

Passo 11

Calcular a concentração mínima de enxofre necessária no meio, em gmol/L (mol/L):
  • Primeiro calculo quantos mols de glicose há em 20\\ \mathrm{g/L}:
\text{mol glicose/L} = \frac{20}{180{,}16} \approx 0{,}11106\\ \mathrm{mol/L}.
  • Sabemos que por mol de glicose precisamos de c=0{,}0068048 mol de \mathrm{H_2SO_4} (ou mol de S). Portanto mols de S por litro:
\text{mol S/L} = 0{,}11106 \times 0{,}0068048 \approx 0{,}0007553\\ \mathrm{mol/L}.
  • Em notação científica isso é 7{,}553\times 10^{-4}\\ \mathrm{gmol/L} (onde gmol/L é mol/L).

Resposta

\mathrm{O_2\\ requirement} = 3{,}7679\\ \mathrm{mol\\ O_2\\ per\\ mol\\ glucose} \;\;=\;\; 0{,}020918\\ \mathrm{mol\\ O_2/g\\ glucose} \;\;=\;\; 0{,}6694\\ \mathrm{g\\ O_2/g\\ glucose}.
\text{Concentração mínima de S} = 7{,}553\times 10^{-4}\\ \mathrm{gmol/L}çãí

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