Um capacitor C=10 mu F é submetido a uma tensão v=100 ( 500 t+30^circ ) V. Determine a corrente eficaz e i(t).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um capacitor de capacitância C = 10,muF submetido a uma tensão dada por v = 100,V cdot (500,t + 30^circ). Precisamos encontrar a corrente eficaz, que é uma medida do valor médio da corrente em regime alternado, e a expressão da corrente i(t). Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos de corrente alternada, especificamente a relação entre tensão e corrente em um capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a tensão de forma mais clara. A expressão v = 100,V cdot (500,t + 30^circ) sugere uma tensão senoidal com amplitude de 100,V, frequência angular de 500,rad/s e fase de 30^circ. Podemos reescrever a tensão como:
v(t) = 100,V cdot sin(500,t + 30^circ)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a corrente i(t) que passa pelo capacitor. A relação entre a corrente e a tensão em um capacitor é dada pela fórmula:
i(t) = C cdot dv(t)dt
Isso significa que a corrente é igual à capacitância multiplicada pela derivada da tensão em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da tensão v(t):
dv(t)dt = 100,V cdot 500,rad/s cdot cos(500,t + 30^circ)
Então, a corrente i(t) fica:
i(t) = 10,muF cdot 100,V cdot 500,rad/s cdot cos(500,t + 30^circ)
Simplificando os valores numéricos:
i(t) = 10 times 10^-6,F cdot 100 cdot 500 cdot cos(500,t + 30^circ) = 0,5,A cdot cos(500,t + 30^circ)

Passo 5

A corrente eficaz ( ieficaz) de uma corrente senoidal é igual à amplitude da corrente dividida pela raiz quadrada de 2. A amplitude da corrente encontrada é 0,5,A, então:
ieficaz = 0,5,Araiz2 approx 0,354,A

Resposta

A corrente eficaz é aproximadamente 0,354,A e a expressão da corrente é:
i(t) = 0,5,A cdot cos(500,t + 30^circ)

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