Ex 4 Uma carga alimentada com tensão senoidal de 120 \mathrm{~V}_{\text {ef }} apresenta uma impedância equivalente igual a \boldsymbol{Z}=20 / 30^{\circ}(\Omega). Calcular as potências: complexa, aparente, média e reativa na carga.
Resp. \hat{\boldsymbol{S}}=623.5+j 360 \mathrm{VA}, S=720 \mathrm{VA}, P=623.5 \mathrm{~W}, Q=360 VAR .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as grandezas indicadas.
Dado:
V_{\text{ef}}=120\\ \text{V}
Z=20\angle 30^\circ\\ \Omega
Pede-se calcular:
  • a potência complexa (fasorial) \hat{\boldsymbol{S}},
  • a potência aparente S,
  • a potência média (ativa) P,
  • a potência reativa Q.
Observação: aqui V_{\text{ef}} é a tensão eficaz (valor RMS) aplicada à carga, e Z é a impedância equivalente da carga dada em forma polar.

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a corrente (fasor) que circula na carga usando a lei de Ohm em forma fasorial:
I = \frac{V}{Z}.
Explicando a fórmula: V é o fasor da tensão RMS aplicada (vamos tomar como referência \angle 0^\circ), Z é a impedância (módulo e ângulo). A divisão de fasores é feita dividindo os módulos e subtraindo os ângulos.
Aplicando os valores:
|I|=\frac{|V|}{|Z|}=\frac{120}{20}=6\\ \text{A}
\angle I=\angle V-\angle Z=0^\circ-30^\circ=-30^\circ
Portanto o fasor corrente é
I=6\angle -30^\circ\\ \text{A}.

Passo 3

Agora a potência complexa (também chamada de potência aparente em forma fasorial) é dada por
\hat{\boldsymbol{S}} = V_{\text{rms}}\; I_{\text{rms}}^{*},
onde I^{*} é o conjugado complexo do fasor corrente. Motivo: essa fórmula provém da média temporal do produto v(t)i(t) usando fasores; o conjugado aparece para acomodar a diferença de fase entre tensão e corrente.
Temos I^{*}=6\angle +30^\circ. Então
\hat{\boldsymbol{S}} = 120\angle 0^\circ \times 6\angle +30^\circ = 720\angle 30^\circ\\ \text{VA}.

Passo 4

Converter \hat{\boldsymbol{S}} para a forma retangular para obter as componentes ativa e reativa:
P=\operatorname{Re}(\hat{\boldsymbol{S}})=|S|\cos\varphi,
Q=\operatorname{Im}(\hat{\boldsymbol{S}})=|S|\sin\varphi,
onde |S|=720\\ \text{VA} e \varphi=30^\circ é o ângulo entre tensão e corrente (ângulo de \hat{\boldsymbol{S}}).
Calculando:
P=720\cos 30^\circ = 720\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=720\cdot 0{,}8660254\approx 623{,}5\\ \text{W}
Q=720\sin 30^\circ =720\cdot\frac{1}{2}=360\\ \text{VAR}
Assim a representação retangular é
\hat{\boldsymbol{S}}=623{,}5 + j\,360\\ \text{VA}.
Explicação física rápida (útil para a prova): como a corrente tem ângulo -30^\circ (corrente defasada negativamente em relação à tensão), isso significa que a corrente atrasa a tensão — comportamento típico de carga indutiva — e por isso Q>0 (reativo indutivo).

Passo 5

Resumo dos valores importantes e verificações fáceis:
  • A potência aparente (módulo) é S=V_{\text{ef}}\cdot I_{\text{ef}}=120\cdot 6=720\\ \text{VA}.
  • A potência ativa é a parte real de \hat{\boldsymbol{S}}: P\approx 623{,}5\\ \text{W}.
  • A potência reativa é a parte imaginária de \hat{\boldsymbol{S}}: Q=360\\ \text{VAR}.
    Tudo bate com os cálculos anteriores. Vai dar tudo certo na prova — respira e pratica umas vezes esse procedimento: 1) achar I, 2) calcular \hat{\boldsymbol{S}}=V I^*, 3) extrair P e Q.

Resposta

\hat{\boldsymbol{S}}=623{,}5 + j\,360\\ \mathrm{VA}
S=720\\ \mathrm{VA}
P=623{,}5\\ \mathrm{W}
Q=360\\ \mathrm{VAR}

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