1. Uma carga P é aplicada em um pino de aço inserido em um elemento de madeira pendurado no teto. O limite de resistência à tração da madeira utilizada é de 60 MPa e 7,5 \mathrm{MPa} em cisalhamento, enquanto a resistência última do aço é de 145 MPa em cisalhamento. Sabendo que b=40 \mathrm{~mm}, c=55 \mathrm{~mm} \mathrm{e} d=12 \mathrm{~mm}, determine a carga P se um fator de segurança global de 3,2 for desejado.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a carga P admissível quando se deseja um fator de segurança global de 3{,}2.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado e da figura):
  • Resistências últimas:
    • madeira: tensão última \sigma_{u,\text{mad}} = 60\\ \text{MPa},
    • madeira: cisalhamento último \tau_{u,\text{mad}} = 7{,}5\\ \text{MPa},
    • aço (pino): cisalhamento último \tau_{u,\text{aço}} = 145\\ \text{MPa}ç.
  • Dimensões (peguei estes números da figura): b = 40\\ \text{mm}, c = 55\\ \text{mm}, d = 12\\ \text{mm}.
  • Na figura cada pino suporta metade da carga: a força em cada pino é 1/2\;P (está indicado).
  • Pedir FOS global N = 3{,}2.
O que vamos calcular (lista clara das verificações necessárias):
  • resistência por ruptura por tração da madeira (ligamento líquido entre furos) — verificar P a partir da tensão admissível na madeira;
  • resistência por cisalhamento da madeira (cisalhamento no torno dos furos pelos dois pinos) — verificar P a partir da tensão de cisalhamento admissível da madeira;
  • resistência por cisalhamento do pino de aço — verificar P a partir da tensão de cisalhamento admissível do aço;
  • a carga admissível final P será aquela limitada pela menor dessas resistências (modo crítico).

Passo 2

Primeiro passo didático: como transformar resistência última em tensão admissível usando fator de segurança.
  • Regra: tensão admissível = resistência última / fator de segurança N.
  • Notação: se \sigma_u é resistência última em tensão, então \sigma_{adm}=\dfrac{\sigma_u}{N}. Se \tau_u é resistência última em cisalhamento, então \tau_{adm}=\dfrac{\tau_u}{N}.
Aplicando às resistências dadas (usar unidades \text{MPa} = \text{N}/\text{mm}^2, conveniente para mm):
\sigma_{adm,\text{mad}}=\dfrac{60}{3{,}2}=18{,}75\\ \text{MPa}.
\tau_{adm,\text{mad}}=\dfrac{7{,}5}{3{,}2}=2{,}34375\\ \text{MPa}.
\tau_{adm,\text{aço}}=\dfrac{145}{3{,}2}=45{,}3125\\ \text{MPa}.ç
Explicação curta: 1 MPa = 1\\ \text{N}/\text{mm}^2, portanto usar b,c,d em mm dá áreas em \text{mm}^2 e forças em N.

Passo 3

Verificação do modo 1 — ruptura por tração da madeira (ligamento entre furos).
Modelo e ideia: os furos dos pinos reduzem a seção que resiste à tração vertical do bloco; a área líquida que resiste à tração é a largura b multiplicada pelo comprimento da ligação entre as bordas dos furos na direção da força. A figura e a geometria indicam que essa “ligação” tem comprimento c-d (distância entre centros menos o diâmetro do furo). Assim:
A_{\text{tensão,\,mad}} = b\,(c-d).ã
Calcule:
A_{\text{tensão,\,mad}} = 40\cdot(55-12)=40\cdot 43 = 1720\\ \text{mm}^2.ã
A tensão na madeira seria \sigma = \dfrac{P}{A_{\text{tensão,\,mad}}}ã. Impor \sigma \le \sigma_{adm,\text{mad}}
P_{tens} = \sigma_{adm,\text{mad}}\;A_{\text{tensão,\,mad}}.ã
Substituindo números:
P_{tens} = 18{,}75\cdot 1720 = 32250\\ \text{N} = 32{,}25\\ \text{kN}.
Comentário didático: esse modo corresponde ao corte por tração (rasgamento) do material entre os furos; é comum a área líquida ser b vezes a distância útil entre as bordas dos furos.

Passo 4

Verificação do modo 2 — cisalhamento da madeira ao redor dos pinos.
Modelo e ideia: cada pino impõe uma força vertical P/2. A madeira sofre cisalhamento no plano do furo; a área de cisalhamento por pino é a projeção do furo na direção da força, aproximadamente A_{pino,\,mad}=b\cdot d (largura b vezes diâmetro d). Como há dois pinos que compartilham a carga total P, a área total de cisalhamento na madeira é 2\,(b d). A tensão de cisalhamento média na madeira é \tau = \dfrac{P}{2 b d}. Impor \tau \le \tau_{adm,\text{mad}} dá:
P_{cis,\,mad} = 2\;\tau_{adm,\text{mad}}\;b\;d.
Calcule as áreas e a força:
b d = 40\cdot 12 = 480\\ \text{mm}^2.
P_{cis,\,mad} = 2\cdot 2{,}34375 \cdot 480 = 2250\\ \text{N} = 2{,}25\\ \text{kN}.
Explicação: note que esse modo é muitas vezes crítico em madeira porque a resistência ao cisalhamento é pequena; por isso sempre checar esse modo primeiro na prática.

Passo 5

Verificação do modo 3 — cisalhamento do pino de aço.
Modelo e ideia: cada pino tem seção circular de área A_{pin}=\dfrac{\pi d^2}{4}. Cada pino suporta P/2 em cisalhamento (supondo um plano de cisalhamento por pino). A tensão de cisalhamento no pino é \tau_{pin}=\dfrac{P/2}{A_{pin}}. Impor \tau_{pin}\le \tau_{adm,\text{aço}}ç e resolver para P dá:
P_{cis,\,aço}=2\;\tau_{adm,\text{aço}}\;A_{pin}.çç
Calcule A_{pin}:
A_{pin}=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi\cdot 12^2}{4}=36\pi\\ \text{mm}^2\approx 113{,}10\\ \text{mm}^2.
Agora:
P_{cis,\,aço}=2\cdot 45{,}3125\cdot 36\pi \approx 10249{,}4\\ \text{N} = 10{,}25\\ \text{kN}.ç
Comentário: mesmo sendo um pino de aço com boa resistência, o modo de cisalhamento do conjunto pode ser governado pela madeira antes de atingir a resistência do aço.

Passo 6

Comparar as três capacidades encontradas (todas já considerando o fator de segurança N=3{,}2):
  • P_{tens} = 32250\\ \text{N} \\ (32{,}25\\ \text{kN}) — ruptura por tração da madeira;
  • P_{cis,\,mad} = 2250\\ \text{N} \\ (2{,}25\\ \text{kN}) — cisalhamento da madeira (ao redor dos pinos);
  • P_{cis,\,aço} \approx 10249{,}4\\ \text{N} \\ (10{,}25\\ \text{kN})ç — cisalhamento dos pinos.
A menor delas controla o projeto: P_{cis,\,mad}=2250\\ \text{N}. Portanto o modo crítico é cisalhamento da madeira e a carga admissível P é 2250\\ \text{N} (aproximadamente).
Breve incentivo: deu pra ver que a madeira costuma falhar em cisalhamento antes da tração ou do aço, por isso é comum as ligações com madeira serem limitadas por esse modo — ótimo que você conferiu todos os modos!

Resposta

P = 2250\\ \text{N} \\ (\approx 2{,}25\\ \text{kN})