- Uma carga
é aplicada em um pino de aço inserido em um elemento de madeira pendurado no teto. O limite de resistência à tração da madeira utilizada é de 60 MPa e
em cisalhamento, enquanto a resistência última do aço é de 145 MPa em cisalhamento. Sabendo que
, determine a carga P se um fator de segurança global de 3,2 for desejado.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a carga
admissível quando se deseja um fator de segurança global de
.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado e da figura):
- Resistências últimas:
- madeira: tensão última
, - madeira: cisalhamento último
, - aço (pino): cisalhamento último
.
- madeira: tensão última
- Dimensões (peguei estes números da figura):
, , . - Na figura cada pino suporta metade da carga: a força em cada pino é
(está indicado). - Pedir FOS global
.
O que vamos calcular (lista clara das verificações necessárias):
- resistência por ruptura por tração da madeira (ligamento líquido entre furos) — verificar
a partir da tensão admissível na madeira; - resistência por cisalhamento da madeira (cisalhamento no torno dos furos pelos dois pinos) — verificar
a partir da tensão de cisalhamento admissível da madeira; - resistência por cisalhamento do pino de aço — verificar
a partir da tensão de cisalhamento admissível do aço; - a carga admissível final
será aquela limitada pela menor dessas resistências (modo crítico).
Passo 2
Primeiro passo didático: como transformar resistência última em tensão admissível usando fator de segurança.
- Regra: tensão admissível
resistência última fator de segurança . - Notação: se
é resistência última em tensão, então . Se é resistência última em cisalhamento, então .
Aplicando às resistências dadas (usar unidades
, conveniente para mm):
Explicação curta: 1 MPa =
, portanto usar
em mm dá áreas em
e forças em N.
Passo 3
Verificação do modo 1 — ruptura por tração da madeira (ligamento entre furos).
Modelo e ideia: os furos dos pinos reduzem a seção que resiste à tração vertical do bloco; a área líquida que resiste à tração é a largura
multiplicada pelo comprimento da ligação entre as bordas dos furos na direção da força. A figura e a geometria indicam que essa “ligação” tem comprimento
(distância entre centros menos o diâmetro do furo). Assim:
Calcule:
A tensão na madeira seria
. Impor
dá
Substituindo números:
Comentário didático: esse modo corresponde ao corte por tração (rasgamento) do material entre os furos; é comum a área líquida ser
vezes a distância útil entre as bordas dos furos.
Passo 4
Verificação do modo 2 — cisalhamento da madeira ao redor dos pinos.
Modelo e ideia: cada pino impõe uma força vertical
. A madeira sofre cisalhamento no plano do furo; a área de cisalhamento por pino é a projeção do furo na direção da força, aproximadamente
(largura
vezes diâmetro
). Como há dois pinos que compartilham a carga total
, a área total de cisalhamento na madeira é
. A tensão de cisalhamento média na madeira é
. Impor
dá:
Calcule as áreas e a força:
Explicação: note que esse modo é muitas vezes crítico em madeira porque a resistência ao cisalhamento é pequena; por isso sempre checar esse modo primeiro na prática.
Passo 5
Verificação do modo 3 — cisalhamento do pino de aço.
Modelo e ideia: cada pino tem seção circular de área
. Cada pino suporta
em cisalhamento (supondo um plano de cisalhamento por pino). A tensão de cisalhamento no pino é
. Impor
e resolver para
dá:
Calcule
:
Agora:
Comentário: mesmo sendo um pino de aço com boa resistência, o modo de cisalhamento do conjunto pode ser governado pela madeira antes de atingir a resistência do aço.
Passo 6
Comparar as três capacidades encontradas (todas já considerando o fator de segurança
):
-
— ruptura por tração da madeira; -
— cisalhamento da madeira (ao redor dos pinos); -
— cisalhamento dos pinos.
A menor delas controla o projeto:
. Portanto o modo crítico é cisalhamento da madeira e a carga admissível
é
(aproximadamente).
Breve incentivo: deu pra ver que a madeira costuma falhar em cisalhamento antes da tração ou do aço, por isso é comum as ligações com madeira serem limitadas por esse modo — ótimo que você conferiu todos os modos!