2-DÊ OS CASOS TÍPICOS DA FORMA QUE A EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO ASSUME PARA REGIMES ESTACIONÁRIOS E NÃO ESTACIONÁRIOS E APLIQUE-OS AO CASO DA PAREDE PLANA.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- “DÊ OS CASOS TÍPICOS DA FORMA QUE A EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO ASSUME” — ou seja, listar e escrever as formas usuais da equação geral de condução de calor tanto para regimes estacionários quanto para não estacionários, indicando as hipóteses que levam a cada forma.
- “APLIQUE-OS AO CASO DA PAREDE PLANA” — isto é, especializar essas formas para uma parede plana (geometria unidimensional) e mostrar as soluções típicas/expressões conhecidas (perfis de temperatura, condições de contorno típicas, aproximações úteis).
Informações/restrições implícitas que vamos usar (sem pedir nada a você, apenas pressuposições padrão):
- A parede plana será tratada como problema 1D em
(espessura ou meia-espessura com simetria no centro), com condutividade térmica , massa específica e capacidade térmica específica . - Podemos considerar geração volumétrica uniforme
quando necessário. - As fronteiras típicas: temperatura prescrita
, fluxo prescrito ou convecção com fluido externo (coeficiente e ). - Para soluções transitórias usaremos as aproximações clássicas: método da capacidade concentrada (lumped), semi-infinito (erf/erfc) e solução por série para lâmina finita (autovalores / Heisler charts).
Nada mais será assumido além do acima. A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Apresento a equação geral diferencial local de condução de calor (forma conservativa) e explico cada termo, porque é a base de tudo:
onde
-
é a densidade do material ( ); -
é a capacidade térmica específica ( ); -
é a temperatura ( ou ); -
é o tempo ( ); -
é a condutividade térmica ( ); -
é o operador laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais); -
é a geração volumétrica de calor ( ), que pode ser zero se não houver geração interna.
Interpretação física rápida: o termo à esquerda é a variação de energia interna por unidade de volume; o termo
representa difusão/condução do calor;
adiciona (ou retira, se negativo) calor volumetricamente.
Defino também a difusividade térmica, que simplifica expressões:
Regimes:
- Regime estacionário (steady): temperaturas não variam no tempo, logo
. A equação fica estática. - Regime não estacionário (transiente):
e precisamos resolver a PDE temporal.
Passo 3
Casos típicos para o regime estacionário (remoção do termo temporal). Vou listar os casos e explicar as hipóteses que levam a cada forma:
Caso S1 — Estacionário sem geração interna (equação de Laplace)
Hipótese:
e
. Essa forma aparece quando a temperatura alcançou um estado fixo e não há fontes internas.
Caso S2 — Estacionário com geração volumétrica uniforme (equação de Poisson)
Hipótese:
e
constante. O termo fonte impõe curvatura (perfil parabólico típico em 1D).
Condições de contorno típicas no caso estacionário:
- Temperatura prescrita:
na superfície. - Fluxo prescrito:
. - Convecção na superfície:
.
Agora aplico esses casos à parede plana unidimensional. Considere coordenada
ao longo da espessura com
(ou
). Para simplicidade uso
com condições em
e
.
Aplicação S1 (parede plana sem geração)
A equação reduz para
A equação reduz para
Integro duas vezes:
Aplicando, por exemplo,
e
, obtemos o perfil linear clássico:
Fluxo (constante ao longo da espessura):
Aplicação S2 (parede plana com geração volumétrica uniforme
)
A equação reduz para
A equação reduz para
Integral duas vezes:
Com, por exemplo, superfícies a temperaturas dadas
e
, encontramos
e
resolvendo o sistema linear — resultando num perfil parabólico. Se houver simetria no centro (meia-lâmina) e convecção na superfície isso dá o clássico pico de temperatura no centro.
Passo 4
Casos típicos para o regime não estacionário (transiente). Vou listar as três abordagens/objetos mais usados em provas e quando cada uma é válida, explicando por que e dando as fórmulas de uso prático.
Primeiro escrevo a forma 1D da equação transitória (parede plana, coordenada
):
Em termos de
:
Defino números adimensionais úteis:
- Número de Biot:
onde
é o comprimento característico (para uma lâmina de espessura
normalmente
se considerado o corpo inteiro, ou
para meia-lâmina, depende da definição; explicito sempre qual
usei).
- Número de Fourier (tempo adimensional):
Três casos típicos:
- Método da capacidade concentrada (lumped capacitance) — válido quando
. - Semi-infinito — válido para curtos tempos quando a região afetada é pequena comparada com a espessura, ou geometria efetivamente semi-infinita.
- Lâmina finita com condução interna dominante — solução por séries de autovalores (série de Fourier / Heisler charts); válida quando
não é pequeno e é preciso considerar variação espacial na temperatura.
Nos próximos passos eu desenvolvimento cada um.
Passo 5
Lumped capacitance (capacitância concentrada) — derivação e uso prático
Hipótese: o gradiente espacial de temperatura dentro do material é desprezível, isto é,
uniforme no corpo. Essa hipótese é válida se a resistência interna por condução for muito menor que a resistência convectiva na superfície, formalmente
.
Energia total do corpo por unidade de volume -> balanço de energia:
onde
é o volume total do corpo e
é a área de troca convectiva.
Resolver a EDO:
Integrando (condição inicial
):
Definindo
(comprimento característico para o corpo), a constante de decaimento fica
. Em forma adimensional usando
temos
Interpretação prática: temperatura decai exponencialmente para
. Este é o caso clássico quando a parede é muito fina ou tem muito boa condutividade comparada ao ambiente.
Passo 6
Semi-infinito (solução com função erro) — quando usar e fórmula
Quando a região afetada pelo calor é pequena em comparação com a espessura total, ou quando queremos modelar uma superfície branca de um sólido grande por tempo curto, a parede pode ser tratada como semi-infinita:
, e temperatura inicial
.
Caso simples muito usado em provas: superfície
é instantaneamente mantida à temperatura
para
. A solução para
é (retirei
aqui):
Explicação dos símbolos:
-
é a função complementar do erro; e . - A profundidade efetiva penetrada pelo calor é da ordem de
— portanto, o calor “viaja” com a raiz de .
Outra condição comum: superfície submetida a convecção (coeficiente
) resulta numa solução com parâmetros envolvendo
e também com funções erro/erfc, mas a forma é mais complicada. Em provas costuma-se usar fórmulas tabeladas ou gráficos (por exemplo, soluções de Carslaw & Jaeger) ou aproximar por semi-infinito se
pequeno o suficiente.
Passo 7
Lâmina finita (parede plana) — solução por série, autovalores e aproximação de 1 termo
Considere meia-lâmina
com simetria no centro
e convecção na superfície
com coeficiente
e fluido a
. Inicialmente
. Esta é a configuração típica para uma parede plana de espessura
.
Adimensionalizações úteis:
A solução por separação de variáveis leva a uma série do tipo
onde
são as raízes positivas da equação transcendental determinada pela condição de contorno convectiva (para o problema simétrico):
Os coeficientes
dependem de
e são obtidos pela ortogonalidade das funções
. A forma exata de
pode ser encontrada mas muitas vezes em prova aceita-se a expressão da série e a indicação de que
satisfaz
.
Prática útil (aproximação de primeiro termo): para
suficientemente grande para que os termos de ordem superior decayam rápido, a solução pode ser aproximada pelo primeiro termo
:
Isto dá estimativas rápidas para temperatura central e superfície. Em engenharia usam-se as Heisler charts que resumem visualmente essa série e permitem obter resultados sem resolver autovalores.
Observação sobre
: para
(superfície perfeita prescrevendo
) as derivadas lead to
e
. Para
(isolante),
e a solução converge ao caso lumped.
Passo 8
Resumo prático com recomendações de uso (quando escolher cada caso) e fórmulas de referência rápidas
- Se
→ usar lumped capacitance:
- Se o tempo é curto e a região atingida pelo calor é pequena (
espessura) → tratar como semi-infinito:
- Se
e precisamos da distribuição espacial ao longo do tempo → usar solução por série para lâmina finita:
Em provas, frequentemente aceitam a forma geral e a equação para
ou pedem a aproximação de 1 termo.
Passo 9
Exemplos rápidos (para fixar a intuição)
Exemplo A — Estacionário sem geração: parede entre
e
. Então
Exemplo B — Transiente lumped: objeto com
e
,
. A cada instante a temperatura decai exponencialmente com constante
.
Exemplo C — Semi-infinito: a profundidade onde a temperatura mudou significativamente depois de
segundos é
. Isto ajuda a decidir se a aproximação semi-infinita é válida.
Resposta
Estacionário — sem geração:
. Para parede plana
e
.
Estacionário — com geração volumétrica uniforme: . Para parede plana
e
(constantes por condições de contorno).
Transiente geral (1D): (ou
).
Transiente — lumped capacitance (válido se ):
.
Transiente — semi-infinito (curtos tempos, superfície mantida em ):
.
Transiente — lâmina finita (série de autovalores, simetria no centro e convecção na superfície): com
(aproximação prática: usar o primeiro termo ou Heisler charts).
Estacionário — com geração volumétrica uniforme:
Transiente geral (1D):
Transiente — lumped capacitance (válido se
Transiente — semi-infinito (curtos tempos, superfície mantida em
Transiente — lâmina finita (série de autovalores, simetria no centro e convecção na superfície):