2-DÊ OS CASOS TÍPICOS DA FORMA QUE A EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO ASSUME PARA REGIMES ESTACIONÁRIOS E NÃO ESTACIONÁRIOS E APLIQUE-OS AO CASO DA PAREDE PLANA.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. “DÊ OS CASOS TÍPICOS DA FORMA QUE A EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO ASSUME” — ou seja, listar e escrever as formas usuais da equação geral de condução de calor tanto para regimes estacionários quanto para não estacionários, indicando as hipóteses que levam a cada forma.
  2. “APLIQUE-OS AO CASO DA PAREDE PLANA” — isto é, especializar essas formas para uma parede plana (geometria unidimensional) e mostrar as soluções típicas/expressões conhecidas (perfis de temperatura, condições de contorno típicas, aproximações úteis).
Informações/restrições implícitas que vamos usar (sem pedir nada a você, apenas pressuposições padrão):
  • A parede plana será tratada como problema 1D em x (espessura 2L ou meia-espessura L com simetria no centro), com condutividade térmica k, massa específica \rho e capacidade térmica específica c.
  • Podemos considerar geração volumétrica uniforme \dot{q}''' quando necessário.
  • As fronteiras típicas: temperatura prescrita T, fluxo prescrito q'' ou convecção com fluido externo (coeficiente h e T_\infty).
  • Para soluções transitórias usaremos as aproximações clássicas: método da capacidade concentrada (lumped), semi-infinito (erf/erfc) e solução por série para lâmina finita (autovalores / Heisler charts).
Nada mais será assumido além do acima. A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Apresento a equação geral diferencial local de condução de calor (forma conservativa) e explico cada termo, porque é a base de tudo:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\nabla^2 T + \dot{q}'''
onde
  • \rho é a densidade do material ( \mathrm{kg/m^3});
  • c é a capacidade térmica específica ( \mathrm{J/(kg\,K)});
  • T=T(\mathbf{x},t) é a temperatura ( \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C});
  • t é o tempo ( \mathrm{s});
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W/(m\,K)});
  • \nabla^2 é o operador laplaciano (soma das segundas derivadas espaciais);
  • \dot{q}''' é a geração volumétrica de calor ( \mathrm{W/m^3}), que pode ser zero se não houver geração interna.
Interpretação física rápida: o termo à esquerda é a variação de energia interna por unidade de volume; o termo k\nabla^2 T representa difusão/condução do calor; \dot{q}''' adiciona (ou retira, se negativo) calor volumetricamente.
Defino também a difusividade térmica, que simplifica expressões:
\alpha = \frac{k}{\rho c}\quad(\mathrm{m^2/s}).
Regimes:
  • Regime estacionário (steady): temperaturas não variam no tempo, logo \partial T/\partial t=0. A equação fica estática.
  • Regime não estacionário (transiente): \partial T/\partial t\neq 0 e precisamos resolver a PDE temporal.

Passo 3

Casos típicos para o regime estacionário (remoção do termo temporal). Vou listar os casos e explicar as hipóteses que levam a cada forma:
Caso S1 — Estacionário sem geração interna (equação de Laplace)
\nabla^2 T = 0.
Hipótese: \partial T/\partial t=0 e \dot{q}'''=0. Essa forma aparece quando a temperatura alcançou um estado fixo e não há fontes internas.
Caso S2 — Estacionário com geração volumétrica uniforme (equação de Poisson)
\nabla^2 T = -\frac{\dot{q}'''}{k}.
Hipótese: \partial T/\partial t=0 e \dot{q}'''\neq 0 constante. O termo fonte impõe curvatura (perfil parabólico típico em 1D).
Condições de contorno típicas no caso estacionário:
  • Temperatura prescrita: \;T=T_b na superfície.
  • Fluxo prescrito: \; -k\frac{\partial T}{\partial n}=q''_b.
  • Convecção na superfície: \; -k\frac{\partial T}{\partial n}=h\bigl(T-T_\infty\bigr).
Agora aplico esses casos à parede plana unidimensional. Considere coordenada x ao longo da espessura com x\in[0,L] (ou x\in[-L,L]). Para simplicidade uso 0\le x\le L com condições em x=0 e x=L.
Aplicação S1 (parede plana sem geração)
A equação reduz para
\frac{d^2 T}{dx^2}=0.
Integro duas vezes:
T(x)=C_1 x + C_2.
Aplicando, por exemplo, T(0)=T_0 e T(L)=T_L, obtemos o perfil linear clássico:
T(x)=T_0 + \frac{T_L-T_0}{L}\,x.
Fluxo (constante ao longo da espessura):
q''(x)=-k\frac{dT}{dx}=-k\,\frac{T_L-T_0}{L}.
Aplicação S2 (parede plana com geração volumétrica uniforme \dot{q}''')
A equação reduz para
\frac{d^2 T}{dx^2} = -\frac{\dot{q}'''}{k}.
Integral duas vezes:
T(x) = -\frac{\dot{q}'''}{2k}\,x^2 + C_1 x + C_2.
Com, por exemplo, superfícies a temperaturas dadas T(0)=T_0 e T(L)=T_L, encontramos C_1 e C_2 resolvendo o sistema linear — resultando num perfil parabólico. Se houver simetria no centro (meia-lâmina) e convecção na superfície isso dá o clássico pico de temperatura no centro.

Passo 4

Casos típicos para o regime não estacionário (transiente). Vou listar as três abordagens/objetos mais usados em provas e quando cada uma é válida, explicando por que e dando as fórmulas de uso prático.
Primeiro escrevo a forma 1D da equação transitória (parede plana, coordenada x):
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \dot{q}'''.
Em termos de \alpha:
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\dot{q}'''}{\rho c}.
Defino números adimensionais úteis:
  • Número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico (para uma lâmina de espessura 2L normalmente L_c = \tfrac{V}{A}=L/2 se considerado o corpo inteiro, ou L_c=L para meia-lâmina, depende da definição; explicito sempre qual L_c usei).
  • Número de Fourier (tempo adimensional):
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L^2}.
Três casos típicos:
  1. Método da capacidade concentrada (lumped capacitance) — válido quando \mathrm{Bi}\ll 0,1.
  2. Semi-infinito — válido para curtos tempos quando a região afetada é pequena comparada com a espessura, ou geometria efetivamente semi-infinita.
  3. Lâmina finita com condução interna dominante — solução por séries de autovalores (série de Fourier / Heisler charts); válida quando \mathrm{Bi} não é pequeno e é preciso considerar variação espacial na temperatura.
Nos próximos passos eu desenvolvimento cada um.

Passo 5

Lumped capacitance (capacitância concentrada) — derivação e uso prático
Hipótese: o gradiente espacial de temperatura dentro do material é desprezível, isto é, T(\mathbf{x},t)\approx T(t) uniforme no corpo. Essa hipótese é válida se a resistência interna por condução for muito menor que a resistência convectiva na superfície, formalmente \mathrm{Bi}\ll 0,1.
Energia total do corpo por unidade de volume -> balanço de energia:
\rho c V \frac{dT}{dt} = -h A \bigl(T(t)-T_\infty\bigr),
onde V é o volume total do corpo e A é a área de troca convectiva.
Resolver a EDO:
\frac{dT}{dt} = -\frac{h A}{\rho c V}\bigl(T-T_\infty\bigr).
Integrando (condição inicial T(0)=T_i):
T(t)-T_\infty = \bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\left(-\frac{h A}{\rho c V}\,t\right).
Definindo L_c=\dfrac{V}{A} (comprimento característico para o corpo), a constante de decaimento fica \dfrac{h}{\rho c L_c}. Em forma adimensional usando \theta=(T-T_\infty)/(T_i-T_\infty) temos
\theta(\tau)=\mathrm{e}^{-\tau},\quad\text{onde }\tau=\frac{h}{\rho c L_c}\,t.
Interpretação prática: temperatura decai exponencialmente para T_\infty. Este é o caso clássico quando a parede é muito fina ou tem muito boa condutividade comparada ao ambiente.

Passo 6

Semi-infinito (solução com função erro) — quando usar e fórmula
Quando a região afetada pelo calor é pequena em comparação com a espessura total, ou quando queremos modelar uma superfície branca de um sólido grande por tempo curto, a parede pode ser tratada como semi-infinita: x\ge 0, e temperatura inicial T_i.
Caso simples muito usado em provas: superfície x=0 é instantaneamente mantida à temperatura T_s para t>0. A solução para x\ge 0 é (retirei \dot{q}'''=0 aqui):
\frac{T(x,t)-T_i}{T_s-T_i} = \operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).
Explicação dos símbolos:
  • \operatorname{erfc}(z) é a função complementar do erro; \operatorname{erfc}(0)=1 e \operatorname{erfc}(+\infty)=0.
  • A profundidade efetiva penetrada pelo calor é da ordem de \delta\sim 2\sqrt{\alpha t} — portanto, o calor “viaja” com a raiz de t.
Outra condição comum: superfície submetida a convecção (coeficiente h) resulta numa solução com parâmetros envolvendo \mathrm{Bi} e também com funções erro/erfc, mas a forma é mais complicada. Em provas costuma-se usar fórmulas tabeladas ou gráficos (por exemplo, soluções de Carslaw & Jaeger) ou aproximar por semi-infinito se \mathrm{Fo} pequeno o suficiente.

Passo 7

Lâmina finita (parede plana) — solução por série, autovalores e aproximação de 1 termo
Considere meia-lâmina 0\le x\le L com simetria no centro x=0 e convecção na superfície x=L com coeficiente h e fluido a T_\infty. Inicialmente T(x,0)=T_i. Esta é a configuração típica para uma parede plana de espessura 2L.
Adimensionalizações úteis:
X=\frac{x}{L},\qquad \theta(X,\mathrm{Fo})=\frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty},\qquad \mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L^2},\qquad \mathrm{Bi}=\frac{hL}{k}.
A solução por separação de variáveis leva a uma série do tipo
\theta(X,\mathrm{Fo}) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \,\exp\!\big(-\lambda_n^2\,\mathrm{Fo}\big)\cos(\lambda_n X),
onde \lambda_n são as raízes positivas da equação transcendental determinada pela condição de contorno convectiva (para o problema simétrico):
\lambda_n \tan \lambda_n = \mathrm{Bi}.
Os coeficientes C_n dependem de \lambda_n e são obtidos pela ortogonalidade das funções \cos(\lambda_n X). A forma exata de C_n pode ser encontrada mas muitas vezes em prova aceita-se a expressão da série e a indicação de que \lambda_n satisfaz \lambda\tan\lambda=\mathrm{Bi}.
Prática útil (aproximação de primeiro termo): para \mathrm{Fo} suficientemente grande para que os termos de ordem superior decayam rápido, a solução pode ser aproximada pelo primeiro termo n=1:
\theta \approx C_1 \exp(-\lambda_1^2 \mathrm{Fo})\cos(\lambda_1 X).
Isto dá estimativas rápidas para temperatura central e superfície. Em engenharia usam-se as Heisler charts que resumem visualmente essa série e permitem obter resultados sem resolver autovalores.
Observação sobre \lambda_n: para \mathrm{Bi}\to\infty (superfície perfeita prescrevendo T=T_\infty) as derivadas lead to \tan\lambda_n=0 e \lambda_n = (2n-1)\pi/2. Para \mathrm{Bi}\to 0 (isolante), \lambda_n\to 0 e a solução converge ao caso lumped.

Passo 8

Resumo prático com recomendações de uso (quando escolher cada caso) e fórmulas de referência rápidas
  • Se \mathrm{Bi}\ll 0,1 → usar lumped capacitance:
T(t)-T_\infty = (T_i-T_\infty)\exp\!\left(-\frac{hA}{\rho c V}t\right).
  • Se o tempo é curto e a região atingida pelo calor é pequena ( \delta\sim 2\sqrt{\alpha t}\ll espessura) → tratar como semi-infinito:
\frac{T(x,t)-T_i}{T_s-T_i} = \operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)\quad\text{(superfície com \(T_s\) prescrito).}í
  • Se \mathrm{Bi}\gtrsim 0,1 e precisamos da distribuição espacial ao longo do tempo → usar solução por série para lâmina finita:
\theta(X,\mathrm{Fo}) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \,\mathrm{e}^{-\lambda_n^2 \mathrm{Fo}}\cos(\lambda_n X),\quad\text{com }\lambda_n\tan\lambda_n=\mathrm{Bi}.
Em provas, frequentemente aceitam a forma geral e a equação para \lambda_n ou pedem a aproximação de 1 termo.

Passo 9

Exemplos rápidos (para fixar a intuição)
Exemplo A — Estacionário sem geração: parede entre T(0)=100^\circ\mathrm{C} e T(L)=0^\circ\mathrm{C}. Então
T(x)=100 - \frac{100}{L}x\quad\text{(perfil linear).}
Exemplo B — Transiente lumped: objeto com hA/(\rho c V)=0,02\\ \mathrm{s^{-1}} e T_i=200^\circ\mathrm{C}, T_\infty=20^\circ\mathrm{C}. A cada instante a temperatura decai exponencialmente com constante 0,02\\ \mathrm{s^{-1}}.
Exemplo C — Semi-infinito: a profundidade onde a temperatura mudou significativamente depois de t segundos é \delta\sim 2\sqrt{\alpha t}. Isto ajuda a decidir se a aproximação semi-infinita é válida.

Resposta

Estacionário — sem geração: \nabla^2 T=0. Para parede plana d^2T/dx^2=0 e T(x)=T_0+\dfrac{T_L-T_0}{L}x.
Estacionário — com geração volumétrica uniforme: \nabla^2 T = -\dfrac{\dot{q}'''}{k}. Para parede plana \dfrac{d^2T}{dx^2}=-\dfrac{\dot{q}'''}{k} e T(x)=-\dfrac{\dot{q}'''}{2k}x^2+C_1x+C_2 (constantes por condições de contorno).
Transiente geral (1D): \rho c\,\dfrac{\partial T}{\partial t}=k\,\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\dot{q}''' (ou \dfrac{\partial T}{\partial t}=\alpha\dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\dfrac{\dot{q}'''}{\rho c}).
Transiente — lumped capacitance (válido se \mathrm{Bi}\ll 0,1): T(t)-T_\infty=(T_i-T_\infty)\exp\!\big(-\dfrac{hA}{\rho c V}t\big).
Transiente — semi-infinito (curtos tempos, superfície mantida em T_s): \dfrac{T(x,t)-T_i}{T_s-T_i}=\operatorname{erfc}\!\big(\dfrac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\big).
Transiente — lâmina finita (série de autovalores, simetria no centro e convecção na superfície): \theta(X,\mathrm{Fo})=\sum_{n=1}^\infty C_n\mathrm{e}^{-\lambda_n^2\mathrm{Fo}}\cos(\lambda_n X) com \lambda_n\tan\lambda_n=\mathrm{Bi} (aproximação prática: usar o primeiro termo ou Heisler charts).

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