• 1.2 O gás em um volume cúbico com laterais com temperaturas diferentes é isolado subitamente com relação à transferência de massa e energia. Esse sistema está em equilíbrio termodinâmico? Por quê? Por que não?

Passo 1

O enunciado pergunta se um gás confinado num volume cúbico, cujas faces estavam em temperaturas diferentes e que foi subitamente isolado quanto à troca de massa e energia, está em equilíbrio termodinâmico. Informações dadas que vamos usar:
  • Existe um gás dentro de um cubo.
  • As faces do cubo estavam em temperaturas diferentes antes do isolamento (peguei essa informação do enunciado).
  • O sistema foi, subitamente, isolado para troca de massa e energia (ou seja, após o isolamento não entra nem sai calor nem matéria).
    A pergunta principal: o sistema (o gás no cubo, após o isolamento) está em equilíbrio termodinâmico? Se sim, por quê; se não, por quê.

Passo 2

O que significa estar em equilíbrio termodinâmico? Vou explicar devagar e com calma:
  • Equilíbrio termodinâmico requer que não existam processos macroscópicos irreversíveis ocorrendo dentro do sistema. Na prática, isso significa que as grandezas intensivas relevantes (temperatura, pressão, potencial químico) são uniformes no sistema e não há fluxo líquido de calor, trabalho ou matéria entre partes do sistema.
  • Em símbolos, uma condição prática: não deve haver gradientes macroscópicos como \nabla T \neq 0 (gradiente de temperatura) ou \nabla p \neq 0 (gradiente de pressão) que causem fluxos. Se houver \nabla T, haverá fluxo de calor; se houver \nabla p, haverá fluxo mecânico (onda, deslocamento) até equalizar.
    Explicando palavras difíceis: temperatura uniforme quer dizer que qualquer termômetro colocado em qualquer ponto do gás, após algum tempo de estabilização local, dará o mesmo valor; pressão uniforme análoga.

Passo 3

O que implica o isolamento súbito (fechar adiabaticamente) do sistema:
  • Isolamento em energia e massa significa que a energia total interna do sistema não muda por trocas com o exterior. Em forma simbólica,
\Delta U_{\text{total}} = 0,
onde U é a energia interna total.
  • Contudo, isolamento não impede processos internos: energia pode se redistribuir entre partes do sistema (por condução de calor, ondas de pressão etc.), desde que a soma total permaneça a mesma.
  • A Segunda Lei da Termodinâmica diz que, para um sistema isolado, a entropia total S não diminui:
\Delta S \ge 0,
com igualdade apenas quando o sistema atingiu o equilíbrio termodinâmico (estado de máxima entropia sujeito às restrições).

Passo 4

Consequência direta das faces do cubo terem temperaturas diferentes antes do isolamento:
  • Enquanto as faces estavam mantidas com temperaturas diferentes, o gás atingiria um estado com variação espacial de temperatura próximo às superfícies: existe um campo de temperatura T(\mathbf{r}) não uniforme (peguei essa informação do enunciado: “laterais com temperaturas diferentes”).
  • Assim, no instante em que o sistema é isolado, o gás geralmente terá um perfil de temperatura não homogêneo: \nabla T(\mathbf{r}) \neq 0 em partes do volume.
  • Pelo que vimos no Passo 2, um gradiente de temperatura gera fluxo de calor interno: localmente haverá transferência de energia das regiões mais quentes para as mais frias até que o gradiente se dissipe.

Passo 5

Dinâmica interna após o isolamento — o que realmente acontece (intuitivo e prático):
  • Rapidamente (em escala de tempo de propagação sonora) a pressão tende a se equalizar por ondas de compressão/rareação; portanto, a pressão fica aproximadamente uniformizada muito mais rápido do que a temperatura (isso é típico: equilíbrio mecânico é mais rápido).
  • A equalização da temperatura ocorre por condução térmica (ou difusão de energia). Enquanto existir \nabla T, haverá fluxo de calor interno e processo irreversível, acompanhando aumento da entropia local e total.
  • Portanto, logo após o isolamento, salvo um caso muito especial, haverá processos internos em andamento (fluxo de calor) até que a temperatura se torne uniforme.

Passo 6

Aplicando conservação de energia e a teoria em um exemplo simples (para visualizar como fica no equilíbrio):
  • Imagine dividir o cubo em duas metades com n_1 e n_2 mols do gás, com temperaturas iniciais T_1 e T_2. Como o sistema é isolado, a energia interna total se conserva:
n_1 c_V T_1 + n_2 c_V T_2 = (n_1 + n_2) c_V T_f,
onde c_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (expliquei as variáveis acima).
  • Da equação acima obtemos a temperatura final homogênea
T_f = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}.
  • Esse exemplo mostra duas coisas: (i) o equilíbrio térmico final tem temperatura uniforme; (ii) a energia total foi conservada, mas houve redistribuição interna de energia até alcançar T_f.

Passo 7

Conclusão logicamente construída (sem repetir ainda a resposta curta): juntando tudo:
  • Havia temperaturas diferentes nas faces, logo há um campo de temperatura não uniforme no gás quando isolam o sistema.
  • Isolamento impede trocas com o exterior, mas não impede que ocorra fluxo de calor interno causado por \nabla T.
  • Enquanto esse fluxo existir, o sistema experimenta processos irreversíveis internos e a entropia total aumenta até atingir um máximo compatível com a energia conservada.
  • Somente quando o campo de temperatura ficar uniforme e não houver mais fluxos macroscópicos (isto é, quando a entropia atingir o máximo permitido pela conservação de energia), o sistema estará em equilíbrio termodinâmico.

Resposta

Não, inicialmente não está em equilíbrio termodinâmico, porque as diferenças de temperatura nas faces implicam em gradientes de temperatura no gás que geram fluxo de calor interno (processo irreversível). Após isolamento, a energia total se conserva ( \Delta U_{\text{total}}=0) mas haverá redistribuição interna de energia e aumento de entropia ( \Delta S\ge0) até que a temperatura se torne uniforme; só então o sistema alcança o equilíbrio termodinâmico.

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