Mostre que, para um gás ideal, o valor absoluto da inclinação da curva adiabática no diagrama pressão por volume é maior que o valor absoluto da inclinação da curva isotérmica. Ou seja, mostre que, para o gás ideal:
Informações relevantes que temos (tudo vem do modelo do gás ideal e processos termodinâmicos reversíveis):
A equação de estado do gás ideal: pV = nRT, onde p é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura.
Em um processo isotérmico T é constante.
Em um processo adiabático e reversível não há troca de calor: dQ=0. Para um gás ideal isso leva à relação (que vamos derivar): pV^{\gamma}=\text{const}, onde \gamma=\dfrac{c_p}{c_v} é a razão entre capacidades térmicas molares a pressão constante e a volume constante.
Precisamos calcular \dfrac{dp}{dV} para cada curva e comparar os valores absolutos.
Passo 2
Derivando \dfrac{dp}{dV} para a isotérmica (aula rápida sobre derivação):
Para um processo isotérmico T é constante, então da equação do gás ideal temos
p = \frac{nRT}{V}.
Aqui a função p(V) é uma constante multiplicada por V^{-1}. Lembre que a derivada de V^{-1} em relação a V é -V^{-2}.
Intuição física rápida: a adiabática varia mais “forte” porque ao comprimir o gás não se permite troca de calor, a temperatura sobe e a pressão aumenta mais do que no caso isotérmico (onde o calor é removido para manter T constante).