Mostre que, para um gás ideal, o valor absoluto da inclinação da curva adiabática no diagrama pressão por volume é maior que o valor absoluto da inclinação da curva isotérmica. Ou seja, mostre que, para o gás ideal:
\left|\frac{d p}{d V}\right|_{\text {adiabática }}>\left|\frac{d p}{d V}\right|_{\text {isotérmica }} \quad(1,0 \text { ponto })áé

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade
\left|\frac{d p}{d V}\right|_{\text{adiabática}}>\left|\frac{d p}{d V}\right|_{\text{isotérmica}}.áé
Informações relevantes que temos (tudo vem do modelo do gás ideal e processos termodinâmicos reversíveis):
  • A equação de estado do gás ideal: pV = nRT, onde p é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura.
  • Em um processo isotérmico T é constante.
  • Em um processo adiabático e reversível não há troca de calor: dQ=0. Para um gás ideal isso leva à relação (que vamos derivar): pV^{\gamma}=\text{const}, onde \gamma=\dfrac{c_p}{c_v} é a razão entre capacidades térmicas molares a pressão constante e a volume constante.
  • Precisamos calcular \dfrac{dp}{dV} para cada curva e comparar os valores absolutos.

Passo 2

Derivando \dfrac{dp}{dV} para a isotérmica (aula rápida sobre derivação):
  • Para um processo isotérmico T é constante, então da equação do gás ideal temos
p = \frac{nRT}{V}.
Aqui a função p(V) é uma constante multiplicada por V^{-1}. Lembre que a derivada de V^{-1} em relação a V é -V^{-2}.
  • Diferenciando em relação a V:
\frac{dp}{dV} = nRT \cdot \frac{d}{dV}\left(V^{-1}\right) = nRT \cdot \left(-V^{-2}\right) = -\frac{nRT}{V^{2}}.
  • Podemos reescrever -\dfrac{nRT}{V^{2}} em função de p, usando p=\dfrac{nRT}{V}:
\frac{dp}{dV} = -\frac{p}{V}.
  • Portanto o valor absoluto é
\left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{isotérmica}}=\frac{p}{V}.é

Passo 3

Derivando a relação adiabática pV^{\gamma}=\text{const} (passo-a-passo didático):
  • Primeira lei para processo adiabático reversível: dQ=0\Rightarrow dU + p\,dV = 0.
  • Para um gás ideal a variação de energia interna é dU = n c_v\, dT, onde c_v é a capacidade térmica molar a volume constante.
  • Substituindo: n c_v\, dT + p\, dV = 0.
  • Usando p=\dfrac{nRT}{V}, substituímos p em cima:
n c_v\, dT + \frac{nRT}{V}\, dV = 0.
  • Divida por nT (assumindo T>0):
c_v \frac{dT}{T} + R \frac{dV}{V} = 0.
  • Integre (logaritmos): c_v \ln T + R \ln V = \text{const}.
  • Reescrevendo com propriedades de logaritmo:
\ln\left(T^{c_v} V^{R}\right)=\text{const} \quad\Rightarrow\quad T^{c_v} V^{R}=\text{const}.
  • Agora use T=\dfrac{pV}{nR} (da equação de estado) dentro dessa expressão; após manipular logaritmos aparece a combinação pV^{\gamma}= constante, onde
\gamma = \frac{c_p}{c_v}.
(Um passo auxiliar padrão é usar a relação de Mayer c_p - c_v = R para transformar os coeficientes; isto dá o resultado final)
  • Conclusão: para um adiabático reversível de gás ideal vale
pV^{\gamma} = \text{const}.

Passo 4

Encontrando \dfrac{dp}{dV} para a adiabática:
  • Da relação adiabática escrevemos p como função de V:
p = C\, V^{-\gamma},
onde C é constante (igual à constante em pV^{\gamma}).
  • Diferenciando p(V)=C V^{-\gamma} em relação a V: lembre que a derivada de V^{-\gamma} é -\gamma V^{-\gamma-1}.
\frac{dp}{dV} = C \cdot \left(-\gamma V^{-\gamma-1}\right) = -\gamma C V^{-\gamma-1}.
  • Reescrevendo em termos de p (pois p = C V^{-\gamma}):
\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{C V^{-\gamma}}{V} = -\gamma \frac{p}{V}.
  • Portanto o valor absoluto é
\left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{adiabática}} = \gamma \frac{p}{V}.á

Passo 5

Comparação final e conclusão (tema importante: por que \gamma>1):
  • Das expressões obtidas temos
\left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{adiabática}} = \gamma\frac{p}{V},\qquad \left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{isotérmica}} = \frac{p}{V}.áé
  • Como \gamma=\dfrac{c_p}{c_v} e pela relação de Mayer c_p - c_v = R>0, segue que c_p>c_v e, então, \gamma>1.
  • Logo
\gamma\frac{p}{V} > \frac{p}{V},
o que implica
\left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{adiabática}}>\left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{isotérmica}}.áé
  • Intuição física rápida: a adiabática varia mais “forte” porque ao comprimir o gás não se permite troca de calor, a temperatura sobe e a pressão aumenta mais do que no caso isotérmico (onde o calor é removido para manter T constante).

Resposta

\left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{adiabática}}=\gamma\frac{p}{V}>\frac{p}{V}=\left|\frac{dp}{dV}\right|_{\text{isotérmica}},áé
pois \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}>1.

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