Uma certa mistura de N2 e O2 tem uma densidade de 1,185 g L^-1 a 25^circ C e 101325 kPa . Encontre a fração molar de O2 na mistura.
Resp.: XO 2=0,2428

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a determinação da fração molar de oxigênio ( O2) em uma mistura de gases. O enunciado nos dá a densidade da mistura, a temperatura e a pressão. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de densidade de gases, Lei dos Gases Ideais e frações molares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei dos Gases Ideais, que é dada pela fórmula:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

A densidade ( d) de um gás pode ser expressa como massa por volume:
d = mV
Sabemos que a massa ( m) de um gás pode ser relacionada ao número de mols ( n) e à massa molar ( M) pela relação:
m = nM
Substituindo na fórmula da densidade:
d = nMV

Passo 4

Vamos relacionar a densidade com a Lei dos Gases Ideais. Da Lei dos Gases Ideais, isolamos n/V:
nV = PRT
Substituindo na equação da densidade:
d = P cdot MRT

Passo 5

A massa molar da mistura ( M) pode ser calculada usando as frações molares dos componentes:
M = XN2 cdot MN2 + XO2 cdot MO2
Onde:
  • XN2 e XO2 são as frações molares de nitrogênio e oxigênio, respectivamente,
  • MN2 e MO2 são as massas molares do nitrogênio e do oxigênio.
Sabemos que XN2 + XO2 = 1, então podemos expressar XN2 como 1 - XO2.

Passo 6

Substituindo na equação da massa molar:
M = (1 - XO2) cdot MN2 + XO2 cdot MO2
Expandindo:
M = MN2 + XO2 (MO2 - MN2)

Passo 7

Agora, substituímos a expressão de M na equação da densidade:
d = P cdot [MN2 + XO2(MO2 - MN2)]RT
Isolamos XO2:
d = P cdot MN2RT + P cdot XO2(MO2 - MN2)RT
d - P cdot MN2RT = XO2 cdot P (MO2 - MN2)RT
XO2 = d - P cdot MN2RTP (MO2 - MN2)RT
Simplificando:
XO2 = dRT - PMN2P(MO2 - MN2)

Passo 8

Agora, substituímos os valores fornecidos no enunciado:
  • Densidade, d = 1,185 , g/L
  • Pressão, P = 101325 , Pa
  • Temperatura, T = 25^circC = 298 , K
  • Constante dos gases ideais, R = 8,314 , J/(mol cdot K)
  • Massa molar do nitrogênio, MN2 = 28,02 , g/mol
  • Massa molar do oxigênio, MO2 = 32,00 , g/mol

Passo 9

Substituindo os valores na equação de XO2:
XO2 = 1,185 times 8,314 times 298 - 101325 times 28,02101325 times (32,00 - 28,02)
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
1,185 times 8,314 times 298 = 2.936,3 , g cdot J/(mol cdot K)
101325 times 28,02 = 2.838.466,5 , g cdot Pa/mol
2.936,3 - 2.838.466,5 = -2.835.530,2
Denominador:
101325 times (32,00 - 28,02) = 101325 times 3,98 = 403.213,5

Passo 10

Finalmente, calculamos XO2:
XO2 = -2.835.530,2403.213,5 approx -7,033
No entanto, percebemos que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer o passo anterior com atenção.

Passo 11

Recalculando o numerador corretamente:
1,185 times 8,314 times 298 = 2.936,3 , g/L cdot J/(mol cdot K)
101325 times 28,02 = 2.838.466,5 , g cdot Pa/mol
2.936,3 - 2.838.466,5 = -2.835.530,2
Denominador permanece:
101325 times (32,00 - 28,02) = 403.213,5

Passo 12

Parece que houve uma inconsistência nas unidades durante os cálculos. Para evitar confusões, utilizaremos unidades consistentes. Vamos converter a densidade para kg/m³ e ajustar as unidades:
d = 1,185 , g/L = 1,185 , kg/m^3
R = 0,0821 , L cdot atm/(mol cdot K)
P = 1 , atm (pois 101325 , Pa = 1 , atm)
T = 298 , K
Agora, a fórmula simplificada para a massa molar da mistura:
M = dRTP
Substituindo:
M = 1,185 times 0,0821 times 2981 approx 29,04 , g/mol

Passo 13

Sabemos que:
M = XN2 cdot 28,02 + XO2 cdot 32,00
XN2 + XO2 = 1
Então:
29,04 = (1 - XO2) times 28,02 + XO2 times 32,00

Passo 14

Distribuindo os termos:
29,04 = 28,02 - 28,02 XO2 + 32,00 XO2
Agrupando os termos com XO2:
29,04 - 28,02 = (32,00 - 28,02) XO2
1,02 = 3,98 XO2

Passo 15

Isolando XO2:
XO2 = 1,023,98 approx 0,256

Resposta

A fração molar de oxigênio ( XO2) na mistura é aproximadamente 0,256.

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