Um ciclo de bombeamento de calor será utilizado para o aquecimento de uma piscina. A água da piscina deverá ser mantida a 33^circ C. Para o funcionamento do ciclo de bombeamento de calor será utilizada energia elétrica, a qual será comprada da COPEL a R$ 0,98 o kW -hora. Sabe-se que quando a piscina está aquecida (a 0,98 o kW -hora Sabe-se que quando a piscina está aquecida (a ) a taxa de perda de calor para as vizinhanças (que se encontram na temperatura média de ) a taxa de perda de calor para as vizinhanças (que se encontram na temperatura média de ) é de ) é de . Determine o valor mínimo teórico a ser pago à COPEL para manter a piscina aquecida (em Determine o valor mínimo teórico a ser pago à COPEL para manter a piscina aquecida (em ) durante 180 horas. ( ) durante 180 horas ( )

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que precisamos:
  • Enunciado em resumo: usar um ciclo de bomba de calor (ideal, de Carnot) pra manter a piscina a 33 °C, enquanto o entorno está a 12 °C, perdendo calor a 4,55 kW. A energia elétrica custa R$ 0,98 por kWh. Queremos o custo mínimo teórico pra manter isso por 180 h.
  • Conteúdo: termodinâmica – ciclo de Carnot como bomba de calor e coeficiente de desempenho (COP).
  • O que vamos usar:
    1. Converter temperaturas de °C para Kelvin.
    2. Fórmula do COP de bomba de calor ideal: 0,98 por kWh Queremos o custo mínimo teórico pra manter isso por 180 h - Conteúdo: termodinâmica ciclo de Carnot como bomba de calor e coeficiente de desempenho (COP) - O que vamos usar: 1 Converter temperaturas de °C para Kelvin 2 Fórmula do COP de bomba de calor ideal:
      3. Relação entre calor fornecido, potência elétrica e COP.
      4. Cálculo de energia (kWh) e custo (R$).

Passo 2

Primeiro, entenda o COP de uma bomba de calor ideal (Carnot). Ele diz quantas unidades de calor QH a bomba entrega à piscina para cada unidade de trabalho (energia elétrica) W que a gente gasta:
COPHP = QHW = THTH - TL,
onde TH é a temperatura da piscina em Kelvin e TL a do ambiente em Kelvin. Usamos Kelvin porque as fórmulas termodinâmicas só funcionam com temperatura absoluta.

Passo 3

Converter as temperaturas:
  • Piscina: 33,^circC = 33 + 273,15 = 306,15 Kapprox306 K.
  • Entorno: 12,^circC = 12 + 273,15 = 285,15 Kapprox285 K.
    Agora o COP:
COPHP = 306306 - 285 = 30621 approx 14,57

Passo 4

A piscina perde calor a uma taxa de dot Q = 4,55 kW. Pra repor esse calor usando a bomba, a potência elétrica mínima W é
W = dot QCOPHP = 4,5514,57 approx 0,3123 kW

Passo 5

Em 180 horas, a energia total consumida é
E = W times t = 0,3123 kW times 180 h approx 56,21 kWh

Passo 6

Por fim, multiplicamos pela tarifa de R$ 0,98/kWh para achar o custo:
0,98/kWh para achar o custo:

Resposta

O valor mínimo teórico a ser pago à COPEL para manter a piscina a 33 °C durante 180 h é de aproximadamente R$ 55,09.

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