O ciclo de Carnot é executado, usando n moles de um gás de Van der Waals. As temperaturas dos reservatórios quente e frio são respectivamente
e
. Na expansão isotérmica o gás passa do volume inicial
para o volume
, e na compressão isotérmica o gás passa do volume
para o volume
. Determine,
a) Calcule as quantidades de calor recebido,
e cedido
pelo gás durante o ciclo como função dos volumes e das respectivas temperaturas
e
.
b) Use a equação da transformação adiabática para encontrar a relação entre os volumes nos processos adiabáticos.
c) Calcule o rendimento do ciclo e mostre que
só depende das temperaturas
e
a) Calcule as quantidades de calor recebido,
b) Use a equação da transformação adiabática para encontrar a relação entre os volumes nos processos adiabáticos.
c) Calcule o rendimento do ciclo e mostre que
Passo 1
O enunciado descreve um ciclo de Carnot realizado com
mols de um gás de Van der Waals, entre um reservatório quente a
e um frio a
. Nas isotérmicas o gás vai de
a
(na expansão quente) e de
a
(na compressão fria). Vamos usar a equação de estado
para calcular o calor trocado nas isotérmicas e a condição adiabática para Van der Waals
a fim de relacionar os volumes e obter o rendimento.
Passo 2
Durante uma expansão isotérmica a
vale
, logo
Fazendo as integrais:
resulta
Análogo para a isotérmica fria a
(de
a
):
Passo 3
A condição adiabática para Van der Waals pode ser escrita também como
A partir daí, entre os estados 2 e 3 (adiabática de
) temos
E entre 1 e 4 (outra adiabática)
Logo
Passo 4
Com essa relação de volumes nota-se que
- os termos de
em e são iguais em módulo, pois pode-se mostrar que
, - os logaritmos coincidem em valor absoluto se invertermos a razão, já que
Como emo calor é cedido pelo gás, tomamos em módulo, isto é
Portanto temos
Passo 5
O rendimento é
Isso mostra que, apesar de o gás ser de Van der Waals, o rendimento de Carnot depende só de
e
.
Resposta
a)
b)
c)