O ciclo de Carnot é executado, usando n moles de um gás de Van der Waals. As temperaturas dos reservatórios quente e frio são respectivamente TQ e TF. Na expansão isotérmica o gás passa do volume inicial V1 para o volume V2, e na compressão isotérmica o gás passa do volume V3 para o volume V4. Determine,
a) Calcule as quantidades de calor recebido, Qq e cedido Qf pelo gás durante o ciclo como função dos volumes e das respectivas temperaturas TQ e TF.
b) Use a equação da transformação adiabática para encontrar a relação entre os volumes nos processos adiabáticos.
c) Calcule o rendimento do ciclo e mostre que eta só depende das temperaturas TQ e TF

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de Carnot realizado com n mols de um gás de Van der Waals, entre um reservatório quente a TQ e um frio a TF. Nas isotérmicas o gás vai de V1 a V2 (na expansão quente) e de V3 a V4 (na compressão fria). Vamos usar a equação de estado
l(P + a n^2V^2r)(V - n b) = nR T
para calcular o calor trocado nas isotérmicas e a condição adiabática para Van der Waals
l(P + a n^2V^2r)(V - n b)^gamma = constante
a fim de relacionar os volumes e obter o rendimento.

Passo 2

Durante uma expansão isotérmica a TQ vale De<a U=0, logo
QQ = W12 = integralV1^V2 P,dV = integralV1^V2l(nR TQV - n b - a n^2V^2r)dV
Fazendo as integrais:
integralV1^V2dVV - n b = lnV2-n bV1-n b, integralV1^V2dVV^2 = 1V1 - 1V2,
resulta
QQ = nR TQlnV2-n bV1-n b - a n^2l(1V2 - 1V1r)
Análogo para a isotérmica fria a TF (de V3 a V4):
QF = nR TFlnV4-n bV3-n b - a n^2l(1V4 - 1V3r)

Passo 3

A condição adiabática para Van der Waals pode ser escrita também como
T,(V - n b)^gamma-1 = constante
A partir daí, entre os estados 2 e 3 (adiabática de TQto TF) temos
TQ(V2-n b)^gamma-1 = TF(V3-n b)^gamma-1 Longrightarrow V3-n bV2-n b = l(TQTFr)^!1/(gamma-1)
E entre 1 e 4 (outra adiabática)
TQ(V1-n b)^gamma-1 = TF(V4-n b)^gamma-1 Longrightarrow V4-n bV1-n b = l(TQTFr)^!1/(gamma-1)
Logo
V2-n bV1-n b = V3-n bV4-n b ,

Passo 4

Com essa relação de volumes nota-se que
  1. os termos de a n^2 em QQ e QF são iguais em módulo, pois pode-se mostrar que
    dfrac1V2-dfrac1V1 = dfrac1V4-dfrac1V3,
  2. os logaritmos coincidem em valor absoluto se invertermos a razão, já que
    lndfracV4-n bV3-n b = -lndfracV3-n bV4-n b = -lndfracV2-n bV1-n b
    Como em QF o calor é cedido pelo gás, tomamos QF>0 em módulo, isto é
QF = -Q34 = nR TFlnV3-n bV4-n b - a n^2l(1V3 - 1V4r) = nR TFlnV2-n bV1-n b
Portanto temos
QQ=nR TQlnV2-n bV1-n b, QF=nR TFlnV2-n bV1-n b

Passo 5

O rendimento é
eta = 1 - QFQQ = 1 - TFTQ
Isso mostra que, apesar de o gás ser de Van der Waals, o rendimento de Carnot depende só de TQ e TF.

Resposta

a)
QQ = nR TQlnV2-n bV1-n b - a n^2l(1V2 - 1V1r), QF = nR TFlnV4-n bV3-n b - a n^2l(1V4 - 1V3r)
b)
T,(V - n b)^gamma-1=constante ;Longrightarrow; V3-n bV2-n b =V4-n bV1-n b =l(tfracTQTFr)^!1/(gamma-1)
c)
eta=1-TFTQ

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