Considere n moles do gás de Van der Waals,
a) Encontre a equação de transformação adiabática do gás nas variáveis T e V, e mostre que é dada por,
T^3 / 2(V-n b)=C C é uma constante é
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás que se encontra inicialmente a temperatura T0 e volume V0, na expansão adiabática reversível na qual o volume vai de V0 para 2 V0.

Passo 1

O enunciado trata de n moles de um gás de Van der Waals, cuja equação de estado é
l(p + tfraca n^2V^2r),(V - n,b) = n,R,T
(a) Pede-se a equação da transformação adiabática reversível em T e V.
(b) Pede-se o trabalho W realizado pelo gás na expansão adiabática de V0 até 2V0, partindo da temperatura inicial T0.
Para resolver vamos usar:
– Primeira lei da termodinâmica no processo adiabático reversível ( de<a Q=0):
dU + p,dV = 0,
– A dependência de U para o gás de Van der Waals:
U = Cv,T ;-;a,n^2V,
p dado pela equação de estado acima.

Passo 2

Escrevendo a primeira lei em diferencial:
dU + p,dV = 0
Como
dU = Cv,dT + a,n^2V^2,dV e p = n,R,TV - n,b - a,n^2V^2,
substituímos em dU + p,dV=0:
Cv,dT + a,n^2V^2,dV +l(n,R,TV - n,b - a,n^2V^2r)dV = 0
Os termos em a,n^2/V^2 se cancelam e sobra
Cv,dT + n,R,TV - n,b,dV = 0

Passo 3

Reescrevendo em forma separável:
dTT + n,RCv,dVV - n,b = 0 Longrightarrow dl[ln T + tfracnRCvln(V - n,b)r]=0
Integrando, obtemos a constante de adiabat:
ln T + n,RCv,ln(V - n,b) = ln C Longrightarrow T,(V - n,b)^,tfracnRCv = C

Passo 4

Para um gás monatomicamente modelado no Van der Waals costuma-se tomar
Cv = tfrac32n,R.
Então
n,RCv = n,Rtfrac32n,R = tfrac23
e a adiabat fica
T,(V - n,b)^2/3 = C ;Longrightarrow; T^3/2,(V - n,b)=C',
onde C' é outra constante.

Passo 5

Para calcular o trabalho reversível adiabático
W = integralV0^2V0 p,dV = integralV0^2V0!l[nR,TV - n,b - a,n^2V^2r]dV
Usamos a relação adiabática no primeiro termo: de
;Cv,dT + tfracnR,TV-n,bdV=0; segue
;integral nR,tfracTV-n,bdV = -integral Cv,dT = Cv,(T0 - T2).\
No segundo termo,
;integralV0^2V0tfraca,n^2V^2dV = a,n^2l[-tfrac1Vr]V0^2V0 = -,a,n^22,V0
Logo
W = Cv,(T0 - T2);-;a,n^22,V0

Passo 6

Falta T2, a temperatura final dada pela adiabat:
T2^3/2,(2V0 - n,b)=T0^3/2,(V0 - n,b) ;Longrightarrow; T2 = T0, l(tfracV0 - n,b2V0 - n,br)^2/3
Substituindo em W com Cv=tfrac32nR:
W = 32nRl[T0 - T0l(tfracV0 - n,b2V0 - n,br)^2/3r] ;-;a,n^22,V0

Resposta

(a) A adiabat é
T^3/2,(V - n,b)=constante
(b) O trabalho na expansão adiabática reversível de V0 a 2V0 é
W = 32nR,T0, gl[1 - l(tfracV0 - n,b2V0 - n,br)^2/3gr] ;-;a,n^22,V0

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