A energia livre de Gibbs de um mol de um gás como função da temperatura e da pressão, é dada por
G(T, P)=RT ln (PP0)-aT^2 P
Onde a e P0 são constantes e R é a constante universal dos gases. Determine,
a) a entropia S(T, P)
b) o volume
c) calcule o calor específico molar a pressão constante
d) escreva a forma diferencial para S como função de P e T .
e) o gás se encontra a temperatura T0 e pressão P0 e sofre uma compressão isotérmica. Determine o calor trocado quando sua pressão se iguala a 2 P0.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia livre de Gibbs de um mol de gás
G(T,P)=RTln!l(tfracPP0r);-;a,T^2,P
e pede:
  • (a) a entropia S(T,P) via a relação termodinâmica S=-l(partial G/partial Tr)P,
  • (b) o volume molar V(T,P)=l(partial G/partial Pr)T,
  • (c) o calor específico molar a pressão constante cP=T,(partial S/partial T)P,
  • (d) a forma diferencial dS em função de T e P,
  • (e) o calor trocado numa compressão isotérmica de P0 até 2P0 a T0, que num processo reversível é Q=T0,De<a S.

Passo 2

Calcular a entropia
S(T,P) = -l(partial Gpartial Tr)P
Como
partialpartial Tl[,RTln!(P/P0)r] = Rln!l(tfracPP0r), partialpartial Tl[-aT^2Pr] = -2,a,T,P,
vem
partial Gpartial T = Rln!l(tfracPP0r);-;2aTP,
logo
S(T,P) = -l[;Rln!l(tfracPP0r)-2aTP;r] = -Rln!l(tfracPP0r);+;2a,T,P

Passo 3

Determinar o volume molar
V(T,P)=l(partial Gpartial Pr)T
Como
partialpartial Pl[,RTln!(P/P0)r] = RTP, partialpartial Pl[-aT^2Pr] = -aT^2,
segue
V(T,P)=RTP;-;a,T^2

Passo 4

Calcular o calor específico molar a pressão constante
cP = T;l(partial Spartial Tr)P
Da expressão S=-Rln(P/P0)+2aTP temos
l(partial Spartial Tr)P = 2aP,
portanto
cP = Tcdot(2aP) = 2a,T,P

Passo 5

Escrever a forma diferencial de S(T,P). Como
S(T,P)=-Rln!l(tfracPP0r)+2aTP,
temos
partial Spartial T|P = 2aP, partial Spartial P|T = -RP + 2aT
Logo
dS = 2a,P,dT ;+;l(2aT-RPr),dP

Passo 6

Para a compressão isotérmica a T0 de P0 até 2P0, o calor trocado num processo reversível é
Q = T0;De<a S = T0l[S(T0,2P0)-S(T0,P0)r]
Como
S(T0,2P0) = -Rln2 + 2aT0,(2P0), S(T0,P0) = -Rln1 + 2aT0,P0 = 2aT0P0,
vem
De<a S = l[-Rln2 + 4aT0P0r] - l[2aT0P0r] = -Rln2 + 2aT0P0,
e
Q = T0,l(-Rln2 + 2aT0P0r) = -R,T0ln2 ;+;2a,T0^2,P0

Resposta

a) S(T,P) = -Rln!l(tfracPP0r) + 2a,T,P
b) V(T,P) = RTP - a,T^2
c) cP = 2a,T,P
d) dS = 2a,P,dT + l(2aT-RPr),dP
e) Q = -R,T0ln2 ;+;2a,T0^2,P0

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